Вычисли стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ равна 3корень3 см и образует с меньшей стороной угол 60 градусов.

Большая сторона = ...см. Меньшая сторона = см. Площадь прямоугольника равна см2. (Если необходимо, ответы округли до сотых.)

Плоскость АВ1С пересекает куб по линиям АВ1 и В1С. Расстояние до этой плоскости от точки С1 (перпендикуляр С1Н к этой плоскости) равно расстоянию до этой плоскости от точки О (перпендикуляр ОР к этой плоскости), так как прямая, на которой лежат точки О и С1 параллельна плоскости АВ1С, поскольку эта прямая параллельна линии АС пересечения куба плоскостью АВ1С. 
Найдем ОР.
По Пифагору отрезок В1D1 = √2 - это диагональ квадрата А1В1С1В1.
Тогда ОВ1= √2/2, так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам.
В прямоугольном треугольнике ВВ1О Отрезок ОР является высотой, опущенной из прямого угла О на гипотенузу В1Q и по свойству этой высоты OP=(ОВ1*ОQ)/В1Q.  По Пифагору из треугольника ВВ1Q: В1Q= √(BQ²+ВВ1²)=√(3/2) = √3/√2.
Тогда ОР=(√2/2)*1/(√3/√2) =  (√2/2)*1*(√2/√3) = 2/(2√3) = 1/√3 = √3/3.
ответ: расстояние от С1 до плоскости АВ1С равно √3/3.

Дано: A(2,3-4), B(3,0,1), C(0,2,3), D(4,-2,0), E(-3,2,1)

Найти: a) расстояние от точки A до:

1)координатный плоскостей.

Это расстояние равно соответственной координате точки.

До плоскости xOy = 4,

                        xOz =3,

                        yOz = 2.  

2)координатных осей Ox = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5,

                        Oy = √(2² + (-4)²) = √(4 + 16) = √20 = √5,

                        Oz = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13.

3)начала координат:

OA = √(2² + 3² + (-4)²) = √(4 + 9 + 16) = √29.

б) на оси z найти точку, равноудаленную от точек D и E.

Примем точку на оси Oz М(0; 0; z).

Используем свойство равенства расстояния MD и ME.

(4² + (-2)² + z²) = ((-3)² + 2² + (z-1)²),

16 + 4 + z² = 9 + 4 + z² - 2z + 1,

2z =  -6,

z = -6/2 = -3.

ответ: точка М(0; 0; -3).