При каком значении n вектор а(-9;n;-27) и b(3;1;n²) колинеарны?

Відповідь:

3 см

Пояснення:

Відомо, що коло, вписане в трикутник, точками дотику до сторін відділяє рівні відрізки зі сторони кожної вершини.

Також відомо, що висоти - радіуси, проведені із центра такого кола в прямокутному трикутнику до катетів утворюють з відрізками від точок дотику до вершини прямого кута квадрат зі стороною, рівною радіусу вписаного кола.

Згідно з умовою, позначимо AF як 2x, FB як 3x, тоді

r=9-2x

За теоремою Піфагора складемо рівняння:

9²+ (9-2х+3х)²=(2х+3х)²

81+(9+х)²=25х²

81+81+18х+х²-25х²=0

24х²-18х-162=0

4х²-3х-27=0

Дискрімінант: Д=9+4*4*27=441=21²

х₁=(3+21)/8=3 см

х₂=(3-21)/8=-2.25 см (не підходить).

Тоді r=9-2·3=3 см

решил выкласть решение.
смотри рисунок.
понятно, что отрезки катетов есть отрезки касательных, они равны.
Сделаем все обозначения.
гипотенуза будет  1)  х+у=2R
По т. Пифагора
(x+r)²+(y+r)²=(x+y)²
раскрывая, получаем
r(x+y)+r²=xy       подставляем сюда 1) и получаем
xy=2Rr+r²
из 1) выделяем у и подставляем, приводим и т.д. и получаем

x²-2Rx+(2Rr+r²)=0
D=4(R²-2Rr-r²)
x=R+/- √(R²-2Rr-r²)   но т.к. x≤R  то  тогда
x=R- √(R²-2Rr-r²)
ну а нижний катет желтого треугольника тогда равен
 √(R²-2Rr-r²)
найдем гипотенузу желтого

r²+(√(R²-2Rr-r²) )²=z²
z²=R²-2Rr
z=√(R*(R-2r))

P.S.  Здесь я не сделал исследование по поводу допустимых значений  радиусов.  Просто не захотел, т.к. удлиняет решение.