решить номера: 149, 151, 156, 158

​

Периметр P правильного треугольника равен 36 см, а расстояние от некоторой точки до каждой из сторон треугольника 10см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Из заданной точки опускаем перпендикуляр h к плоскости треугольника. h - расстояние от этой точки до плоскости треугольника. Так как заданная точка равноудалена от каждой стороны треугольника, то и каждая точка перпендикуляра h тоже равноудалена от каждой стороны треугольника.
На плоскости треугольника точка, равноудаленная от каждой сторон - это центр вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности r правильного треугольника
r = P / 6√3
h находим по теореме Пифагора
h = √( 10² - r² )
h = √( 10² - (P / 6√3)² )
h = √( 10² - (36 / 6√3)² ) = 2 √22 ( ≈ 9.38 ) см

Подробно. 

Обозначим трапецию АВСD. BC║AD,  AB=CD.

Проведем из вершины С прямую, параллельную ВD, до пересечения с продолжением АD  в точке К. 

Противоположные стороны четырехугольника АСКD лежат на параллельных прямых, поэтому параллельны. АВСD –  параллелограмм и  DK=BC => 

АК=АD+BC. 

По условию АС⊥ВD, поэтому угол АСК равен соответственному ему углу АОD.

∠АСК=90°. 

Диагонали равнобедренной трапеции равны. 

Треугольник АСК - прямоугольный равнобедренный. .

Высота равнобедренного треугольника  в нем  и медиана и равна половине гипотенузы: 

СН=АК:2. 

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований ( на среднюю линию)

126=CH•(BC+AD):2

Из найденного выше (BC+AD):2=CH, то 

126=CH²=>

CH=√126=3√14 см

Из найденного выше средняя линия равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями равна её высоте. 

ответ:3√14 см