решить задачи на тему "4 замечательные точки треугольника

Вам очень повезло, вопрос взят с комментариев к профилю  Zsedina
Итак, дам самое краткое решение:
1) диагональ прямоугольника делит его пополам
2) из треугольника с острым углом, и равными сторонами находим:
а) высоту параллелограмма
противолежащий катет в прямоугольном треугольнике углу 30 градусов равен половине гипотенузы, что в нашем случае 4√3
б) угол при вершине равен 180-2*30=120
по т.косинусов
основание=√(2*(8√3)²-2*(8√3)²*сos120)=8√3*√2-2*(-1/2)=8*3=24
3) площадь параллелограмма равна 
4√3*24=96√3 кв ед

Поместим начало координат в вершину прямого угла, а оси направим по его сторонам. Пусть конец отрезка, который движется по оси ОХ, имеет координаты (t,0). Тогда, если длина отрезка равна L, то второй конец, который движется по оси ОY, будет иметь координаты . Тогда абсцисса середины отрезка x=t/2, а ордината середины . Отсюда t=2x. Подставляем это в y и получаем, что x и y  связаны соотношением . Т.е. середина отрезка описывает дугу окружности с центром в вершине прямого угла, и радиусом в половину длины отрезка.