Задача 1. Найти углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла, равен 18°.

Задача 2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

С=90°, А=60°, АВ+АС=18см

Найти: АВ, АС-?

Задача 3 (по готовому чертежу)

В прямоугольном ΔАВС, С=90°, А=30° проведена медиана СМ и биссектриса МД ΔСМА. Найдите МД, если ВС= 23см.

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А, тогда

высота прямоугольного треугольника ВН, проведённая к гипотенузе ВС, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т. е. АН = корню квадратному из ВН*НС=12 (см)

тогда рассмотрим треугольник ВАН (прямоугольный, с прямым углом ВНА), и по теореме Пифагора получаем, что ВА в квадрате=ВНквадрат+НАквадрат

ВА квадрат=9 в квадрате+12 в квадрате, ВА квадрат=81+144=225=>

ВА=корень квадратный из 225, ВА=15 (см_)

тогда берём первоначальный треугольник АВС и по теореме Пифагора находим катет АС,

АС квадрат=ВС квадрат-ВА квадрат, ВС=ВН+НС=9+16=25 (см)

АС квадрат = 25 в квадрате-15 в квадрате

АС квадрат=625-225=400

АС=корень квадратный из 400=20 (см)

ответ: 20 см и 15 см

ВН=2см

Объяснение:

Обозначим вершины треугольника А В С, высоту ВН. ВН делит ∆АВС на 2 равных прямоугольных треугольника, в которых высота и половины являются катетами, а боковые стороны - гипотенузы, и ещё ВН является ещё биссектрисой и медианой, так как ∆АВС равнобедренный, поэтому <АВН=<СВН, АН=НС=4√3÷2=2√3см. Рассмотрим∆АВН и найдём <А, используя косинус угла. Косинус - это отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе, поэтому

Так как <А=30°, то ВН=1/2 АВ, поскольку катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому ВН=АВ÷2=4÷2=2см