На сторонах треугольника AFE(AF=AE) отметили точки так, что АВ=ВС=СD=DE=FE.Найти угол FAE

 Как известно, в равнобедренном треугольнике попарно равны боковые стороны и углы при основании. Доказательство будем строить именно на этом.

 Предположим, что тр-к ABC - равнобедренный

1) Проведём высоту AK к основанию BC. По св-ву равнобедр. тр., она будет также медианой и биссектрисой. Значит, тр-ки ABK b ACK будут равны по стороне и двум прилежащим углам (половины основания, углы при основании и два прямых угла).

2) Проведём высоты BM и CH к сторонам АС и АВ соответственно.
 Три высоты пересекутсся в точке О, и все они будут делиться по соотношению 2:1, считая от вершин.
 В 1 действии мы доказали, что тр. ABK и ACK равны. Значит, если высоты пересекаются в одной точке , лежащей на общей стороне AK этих двух треугольников, то отрезки высот - BO-OM и CO-OH будут равны (т.к. не смещена линия симметрии):
 BO=CO
OM=OH

Если равны все отрезки высот, то буду равны и целые высоты:
BM = CH, чтд.

Всё!

Боковое ребро наклонной призмы равно 14 см и составляет с плоскостью основания угол 30º. Нужно найти высоту призмы. 

-------------

Высота призмы - это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания.

Т.к. основания лежат в параллельных плоскостях, высота призмы равна расстоянию между плоскостями, содержащими её основания. 

Обозначим вершины призмы ABCDA1B1C1D1 (см.рисунок в приложении)

Опустим из вершины А1 перпендикуляр А1Н на плоскость основания. 

А1Н ⊥АН

 ∆ АА1Н - прямоугольный, его катет-  высота призмы А1Н - противолежит углу 30º и равен половине гипотенузы АА1.

А1Н=14:2=7 см

 Иначе: А1Н=АА1•sin 30º=14•1/2=7см

–––––––––

Примечание: 

Высота  призмы не обязательно совпадает с высотой боковой грани. Она совпадает с ней, только если  призма прямая. В данном случае призма - наклонная.