Можно и без Менелая. Если воспользоваться следующим очевидным фактом. Если отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит эту сторону на части, которые относятся как а:b, то площади получившихся двух треугольников тоже относятся как a:b (это потому что у этих треугольников общая высота). Пользуясь этим, получим: 1) Т.к. AP - биссектриса, то BP/PC=7/9 и значит S(KPB)=7x, S(KPC)=9x. 2) Т.к. BM - медиана, то S(AKM)=S(KMC)=y и S(ABK)=S(KBC)=9x+7x=16x. 3) Опять по свойству биссектрисы S(ABP)/S(APC)=7/9=(16x+7x)/(2y+9x). Отсюда y=72x/7. 4) S(ABC)=32x+2y=368x/7 и S(KPCM)=9x+y=135x/7 Значит S(KPCM)/S(ABC)=135/368.
По условию АС:АВ=5:7 или АС=5АВ/7. Т.к. ВМ - медиана, значит АМ=СМ=АС/2. Согласно свойству медианы BM делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника АВМ и СВМ: Sавм=Sсвм=Sавс/2. Т.к. АР- биссектриса, значит <ВАР=<САР. Согласно свойству биссектрисы АР делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон: АВ:АС=ВР:РС, АВ:5АВ/7=ВР:РС ВР:РС=7:5 или РС=5ВР/7. Тогда сторона ВС=ВР+РС=ВР+5ВР/7=12ВР/7 Аналогично и в треугольнике АВМ бисссектриса АК: АВ:АМ=ВК:КМ, АВ:АС/2=ВК:КМ, АВ:5АВ/14=ВК:КМ ВК:КМ=14:5 или КМ=5ВК/14. Тогда медиана ВМ=ВК+КМ=ВК+5ВК/14=19ВК/14. У треугольников АВМ и АКМ одинаковая высота, опущенная из А на сторону ВМ, а если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты): Sавм:Sакм=ВМ:КМ=19ВК/14:5ВК/14=19:5 Sакм=5Sавм/19=5Sавс/38 Аналогично у треугольников АВС и АВР одинаковая высота, опущенная из А на сторону ВС, значит Sавс:Sавр=ВС:ВР=12ВР/7:ВР=12:7. Sавр=7Sавс/12. Находим площадь четырехугольника Sкрсм: Sкрсм=Sавс-Sавр-Sакм=Sавс-7Sавс/12-5Sавс/38=65Sавс/228. Отношение площади Sкрсм:Sавс=65Sавс/228:Sавс=65/228
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
