Отметим, что наименьший угол прямоугольной трапеции, это единственный острый угол. (на нашем рисунке это <D). SinD=EP/HD => EP=DH*SinD. SinD=GP/HC => GP=HC*SinD. PH=√(GP*PE), как высота из прямого угла (<GHE=90°, так как опирается на диаметр GE). Тогда PH=SinD√(HD*CH). Но √(HD*CH)=OH - высота из прямого угла в прямоугольном треугольнике СOD c <COD=90° (свойство трапеции: "В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°"). А так как ОН=АВ/2=R, то РН=(АВ/2)*SinD. Площадь четырехугольника EFGH равна сумме площадей треугольников EFG и EHG. Sefg=(1/2)*EG*OF = (1/2)*AB*(1/2)AB=AB²/4. Sehg=(1/2)*EG*PH = (1/2)*AB*(AB/2)*SinD=AB²*SinD/4. Тогда площадь четырехугольника EFGH равна (AB²/4)*(1+SinD). Площадь трапеции равна (1/2)*(BC+AD)*AB. Но поскольку в трапецию вписана окружность, то ВС+АD=АВ+СD (свойство: "В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон"). В треугольнике CDK: CK=CD*SinD, но СК=АВ, значит CD=AB/SinD. Тогда Sabcd=(1/2)*(AB+AB/SinD)*AB =AB²*(1+1/sinD)/2. По условию Sabcd=4*Sefgh. или (АВ²*(1+1/sinD)/2=4*(AB²/4)*(1+SinD). Отсюда 1/SinD==2 и SinD=1/2. ответ: острый угол D трапеции равен 30°.
1) Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам ∠СВД=∠ВДА - внутренние накрест лежащие при палаллельных прямых ВС и АД и секущей ВД ∠ВОС=АОД - как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон ВО:ОД=ВС:АД Пусть ВО=х, тогда ВС=(х+2) х:(х+2)=6:14 14х=6х+12 8х=12 х=1,5 ВД=ВО+ОД=х+(х+2)=2х+2=2·1,5+2=3+2=5 см 2) По свойству биссектрисы: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам АВ:АС=ВК:КС=4:7 АВ=4х АС=7х АС-АВ=9 7х-4х=9 3х=9 х=3 см АВ=4х=4·3=12 см АС=7х=7·3=21 см
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
