Ab=bc. доказать, что bm перпендикулярно ac​

Треугольники МВС и АМР подобны, и ВС/AP = 1/2; => CM/AM = 1/2; откуда AM = 2*CM; AC = AM + CM = 2*CM + CM = 3*CM; СМ = AC/3; 
подобны и треугольники ВОС и AOD, и CO/OA = BC/AD = 1/4; то есть AO = 4*CO; AC = AO + OC = 4*OC + OC = 5*AC; CO = AC/5; 
отсюда MO = CM - CO = AC*(1/3 - 1/5) = AC*2/15;
Точно так же показывается, что NO = BD*2/15; (ясно, что BO = DO/4; откуда BD = BО  +OD = BO + 4*BO = 5*BO; а из подобия треугольников BNC и PMD => BN/ND = BC/PD = 1/2; ND = 2*BN; BD = ND + BN = 3*BN; далее ON = BN - BO = BD*(1/3 - 1/5) = BD*2/15); 
Если провести CК II BD, точка К лежит на продолжении AD, то BDKC – параллелограмм, и CK = BD; и угол AOD = угол ACK;
треугольник ACK подобен треугольнику MON, потому что соответственные стороны пропорциональны (NO = BD*2/15 = CK*2/15; MO = AC*2/15, угол AOD = угол ACK). Коэффициент подобия равен 2/15. 
Поскольку  AK = AD + BC, площадь треугольника ACK равна h*(AD + BC)/2, где h – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции ABCD и треугольника ACK (словами это можно выразить так - у трапеции и построенного треугольника "общая" высота и равные средние линии). 
То есть площадь ACK равна площади трапеции S. 
Стороны относятся, как 2/15, значит, площади, как (2/15)^2;
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 50*4/225 = 8/9;

задача уже несколько раз была

1)   трик. АВМ і трик.  DEK - прямокутні. ВМ = ЕК і всі кути рівні, значить за ознакою рівності трик. трик. АВМ = трик. DEK.Трикутник МВС і трик. КЕF - прямокутні, кут АВМ  = куту DEK , а значить кут МВС = куту КЕF, МВ = ЕК , за умовою задачі.За ознакою рівності прямокутних трикутників трик. МВС = трик. КEF, звідси витікає, що трик. АВС = трик. DEF, що й треба було довести.

2) трик. АКО = трик МОС - як прямокутні, (кут АОК = куту СОМ -  як вертикальні, а ОК = ОМ)  значить АО = ОС, а значить  трик. АОС - рівнобедрений, кут АОС = ОСА, тоді СК - бісектриса кута АСВ. Якщо, бісектриса є і висотою,  то  трик. АСВ - рівнобедрений, ВС = АС, так само якщо розглянути висоту АМ, то АС=АВ, а значить АС = ВС = АВ. Отже трик. АВС - рівносторонній, що й треба було довести.