Сравни длины отрезков, выходящих из вершины , если ∡=65°, ∡=60°.

Запиши отрезки в порядке возрастания их длин:

Дано :

Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

ВЕ = DF (Е ⊂ ВС, F ⊂ AD).

Доказать :

Четырёхугольник AECF - параллелограмм.

Доказательство :В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны между собой (свойство параллелограмма).

Отсюда следует, что ∠В = ∠D, АВ = CD.

Рассмотрим ΔАВЕ и ΔCDF.

ВЕ = DF (по условию)

∠В = ∠D, АВ = CD (по выше сказанному) ⇒ ΔАВЕ = ΔCDF по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует и равенство сторон АЕ и CF.

AD = BC (по свойству параллелограмма), но в своё очередь AD = BE + EC ; BC = DF + AF. Учитывая равенство из условия получаем, что ЕС = AF.

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм (свойство параллелограмма).

АЕ = CF ;  ЕС = AF (по выше сказанному) ⇒ четырёхугольник AECF - параллелограмм.

ответ :

Что требовалось доказать.

Так как плоскости АВЕ и КМPT параллельны, то АВ║КТ, О∈КТ ⇒ ВК=СК и АТ=ДТ; АЕ║РТ и ВЕ║КМ, значит в треугольниках АЕД и ВЕС отрезки РТ и КМ  - средние линии, значит ЕР=ДР и ЕМ=СМ, значит МР - средняя линия треугольника СЕД ⇒ МР=СД/2=12/2=6 см.
КТ║СД, МР║СД ⇒ МР║КТ, значит КМPT - трапеция, причём равнобедренная (в равных тр-ках АЕД и ВЕС средние линии КМ и РТ равны).
В трапеции КМPT КМ=ВЕ/2, РТ=АЕ/2, МР=АВ/2 и все прямые соответственно параллельны, значит высота трапеции NO равна половине высоты тр-ка АЕВ. NO=EH/2.
В прямоугольном тр-ке ЕОН ОН=АВ/2=12/2=6 см. ЕН²=ЕО²+ОН²=8²+6²=100.
ЕН=10 см. 
NO=10/2=5 см.
Площадь искомого сечения: S(KMРТ)=NO·(КТ+МР)/2=5(12+6)/2=45 см² - это ответ.