Пусть в треугольнике ABC сторона AB больше стороны AC.

Докажем, что ∡ C> ∡ B.

Отложим на стороне AB отрезок, равный стороне AC.

Так как AD<AB, то точка D лежит между точками A и B.

Следовательно, угол 1 является частью угла C и, значит, ∡ C> ∡ 1.

Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому ∡ 2> ∡ B.

∡ 1= ∡ 2 как углы при основании равнобедренного треугольника ADC.

Таким образом, ∡ C> ∡ 1= ∡ 2> ∡ B.

Отсюда следует, что ∡ C> ∡ B.

Справедлива и обратная теорема.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Следствия

Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Следствие 2. Если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.

Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.



Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC и докажем, что СДЕЛАЙТЕ,

Продолжим сторону AC и отложим отрезок CD=BC.

Треугольник BCD — равнобедренный, следовательно, ∡ 1= ∡ 2.

В треугольнике ABD очевидно, что ∡ ABD> ∡ 1, а это значит, что ∡ ABD> ∡ 2.

Так как против большего угла лежит большая сторона, AB<AD, а AD=AC+BC, значит, AB<AC+BC.

Следствие 4. Для любых трёх точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
AB<AC+CB,AC<AB+BC,BC<AB+AC.​

Объяснение:

1)Пусть АВСН-трапеция, АН-нижнее основание,АВ=а , НС=в , средняя линия d, ∠А=55°, ∠Н=35° , ВК⊥АН, СМ⊥АН.

Средняя линия d=1/2(АН+ВС) или 2d=АН+ВС.

2)ΔАВК-прямоугольный ,cosA=АК/АВ, АК=АВ*cosA, АК=аcos55°

  ΔНСМ-прямоугольный,cosН=МН/СН, МН=СН*cosН, МН=вcos35°

3)АН=АК+КМ+МН  , но КМ=ВС (КВСМ-прямоугольник), значит

   АН=АК+ВС+МН   поэтому АН=аcos55°+ВС+вcos35°

4)Подставим в 2d=АН+ВС , получим

                          2d=аcos55°+ВС+вcos35°+ВС,

                          2d-аcos55°-вcos35°=2ВС,

                         ВС=d-0,5(аcos55°+вcos35°).

АН=ВС-2d, значит АН=d-0,5(аcos55°+вcos35°)-2d,

                                АН=-d-0,5(аcos55°+вcos35°)

сумма внешнего угла треугольника вместе с внутренним равна 180 градусов, поэтому внутренние углы в треугольнике равны 180-107=73градуса, 180-123=57 градусов. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому третий угол равен

180-(73+57)=50 градусов. Внешний угол смежный с ним равен 180-50=130 градусов. 

сумма внешних углов треугольника, взятых по одному около каждой вершины равна 360 градусов. 123+107+130=360градусов

2)внешний угол равен 88 градусов, значит внутренний угол равен 180-88=92градуса. так как  этот угол тупой, то он является вершиной равнобедренного треугольника. Тогда углы при основании равны. По свойству внешнего угла их сумма равна внешнему углу, не смежному с ними, то есть 88 градусов. Каждый угол равен 88:2=44 градуса