C= 6,87 см, расстояние между центрами окружностей равно 11,07 см. Вычисли ED.

ED=

Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. 
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2,  b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2   Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.                                                                                                      

a) K, L, M ∈ α; α║(SBC)

KL║BS; KM║BC; ML║CS как линии пересечения двух параллельных плоскостей с одной общей.

SH⊥(ABC); AT⊥BC; H∈AT как центр правильного треугольника лежащий на медиане. AH:HT=2:1 по свойству пересечения медиан.

LU⊥KM ⇒ KU=UM ⇒ U∈AT ⇒ LU⊂(AST) ⇒ LU∩SH

Рассмотрим плоскость AST.

LU║ST как линии пересечения двух параллельных плоскостей с (AST).

AK:KB=AL:LS=5:1 по теореме о пропорциональных отрезках.

AU:UT=AL:LS по теореме о пропорциональных отрезках.

Как уже известно AH:HT=2:1. Пусть AU=5x; UT=x ⇒AT=6x ⇒ AH=4x; HT=2x ⇒ HU=2x-x=x.

ΔSHT~ΔRHU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).

Значит SH:RH=HT:HU=2:1. Пусть SH=2y; RH=y ⇒ SR=2y-y=y ⇒ SR=y=RH

То есть плоскость делит высоту пополам.

б) AT=AB*sin 60°=(15+3)*√3/2=9√3.

ΔAST~ΔALU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).

Значит AL:AS=LU:ST=6:5.

HT=1/3 *9√3=3√3 т.к. AH:HT=2:1

SH=13 ⇒ ST=√(169+27)=14 ⇒ LU=5/6 *14=35/3.

ΔAKM~ΔABC по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).

Значит KM:BC=AK:AB=5:6 ⇒ KM=5/6 *18=15.

Как было указано в начале LU⊥KM ⇒ S=1/2* 15*35/3=175/2=87,5

ответ: 87,5.