Пусть АВСД - данный прямоугольник, О - точка пересечения его диагоналей, ОК - растояние до меньшей стороны (АВ), ОМ - расстояние до большей стороны (АД). Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник АКОМ - прямоугольник, причем ОК = ½АД, ОМ = ½АВ. Пусть ОМ=х,тогда ОК=х+4.Периметр АВСД в 2 раза больше периметра АКОМ, значит периметр АКОМ равен 2·( КО+ОМ) = ½·56
2·( х+ х+4)=28
4·(х+2)=28
х+2=7
х=5
Значит, АВ=2·АК = 2·5=10, АД=2·АМ = 2·(5+4) =18.
ответ: 10 см, 18 см, 10 см, 18 см.
Четырехугольник ABCD, К - середина АВ, L - середина ВС, M - середина CD, N - середина AD, Р - середина АС, Q - середина BD. Надо доказать, что КМ, LN и PQ пересекаются в одной точке.
КN - средняя линяя в треугольнике ABD, поэтому KN II BD, KN = BD/2; точно также доказывается, что LM II BD, KL II AC, MN II AC. Поэтому KLMN - параллелограмм, в котором LN и KM - диагонали, поэтому в точке пересечения они делятся пополам, то есть КМ проходит через середину LN.
С другой стороны,
LQ - средняя линяя в треугольнике BCD, то есть LQ II CD, а PN - средняя линяя в треугольнике ACD, PN II CD, следовательно, PN II LQ.
LP - средняя линяя в треугольнике ABC, то есть LP II AB, а QN - средняя линяя в треугольнике ABD, QN II AB, следовательно, QN II LP.
Поэтому PLQN - параллелограмм, и его диагонали PQ и LN в точке пересечения делятся пополам.
То есть PQ, так же как и КМ, проходит через середину LN.
Всё доказано.
