1. Апофема L определяется по т Пифагора L²=h²+(a/2)²=100+4=104, L =
= 2
≈ 10,2 см
Объяснение:
2. Площадь основания находится как площадь равностороннего Δ с со стороной a, So = 
a²/4=4. Аопофема L находится из условия L²=b²-(a/2)²=64-2,25=61,75, L ≈ 7,59 cм, тогда площадь 1 Грани = aL/2 ≈ 1,5·7,59≈11,78 cм², а вся площадь боковой поверхности = утроенной площади боковой грани ≈ 33,36 см². Общая площадь = 4√3+33,36 ≈33,36+6,93 ≈ 40,29 ≈ 40 см²
3. Диагональ основания d =6
, тогда высота находится из соотношения h² = b²-(d/2)²=144-18=126, h =3
, площадь основания So=a²=36, объём V=Soh/3=36≈ 95,25 ≈ 95 см²
Правильная четырёхугольная пирамида MABCD
AB=BC=CD=AD = 4 см , О - точка пересечения диагоналей
OK⊥CM; OK = 2 см
ABCD - квадрат ⇒ AC = BD = AB*√2 = 4√2 см
ΔOKC : ∠OKC=90°; OC = AC/2 = 2√2 см; OK = 2 см
KC² = OC² - OK² = (2√2)² - 2² = 8-4 = 4 ⇒ KC = 2 см ⇒
ΔOKC - прямоугольный равнобедренный
ΔMOC ~ ΔOKC по двум углам: прямому и общему острому ∠OCM ⇒
ΔMOC - прямоугольный равнобедренный ⇒
OM = OC = 2√2 см: MK = KC = 2 см ⇒ MC = 2*2 = 4 см
Так как пирамида правильная, то MD = MC = 4 см ⇒
ΔCMD - равносторонний : MD = MC = 4 см = CD ⇒
Угол при вершине пирамиды равен 180°/3 = 60°
В равностороннем треугольнике медиана DK - она же высота ⇒
DK⊥MC. Аналогично BK⊥MC ⇒
Угол между смежными боковыми гранями равен углу BKD
DK = DC*sin 60° = 4 * √3/2 = 2√3 см
ΔBKD : BD = 4√2 см; DK = BK = 2√3 см
Теорема косинусов
BD² = BK² + DK² - 2BK*DK*cos ∠BKD
(4√2)² = (2√3)² + (2√3)² - 2 * 2√3 * 2√3 * cos∠BKD
32 = 24 - 24*cos∠BKD
24cos∠BKD = -8
cos∠BKD = -1/3
∠BKD = arccos (-1/3) ≈ 109,5°
ΔFMO: ∠FOM=90°; OM = 2√2 см; MF = 2√3 см
sin∠MFO = OM / MF = 2√2 / (2√3)= \sqrt{ \frac{2}{3} }32
∠MFO = arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°
MF⊥AD и OF⊥AD ⇒
∠MFO - угол между боковой гранью и гранью основания
ответ: угол при вершине 60°;
угол между смежными боковыми гранями arccos (-1/3) ≈ 109,5°;
угол между боковой гранью и гранью основания равен
arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°
