Через сторону AD прямокутника ABCD проведено площину a. CO- перпендикуляр до площини a. Знайдіть кут між прямою CA і площиною a.

Имеем треугольник АВС со сторонами АВ:ВС=15:41; и высотой ВД; Проекции сторон на основание АС равно АД=12; СД=40; Обозначим коэффициенты подобия сторон AB за Х, она будет равна 15 Х, а проекцию стороны СД за У и она будет равна 41У; Тогда справедливо равенство:15Х+41У=56;Так как их сумма равна 56 по УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ; Приняв коэффициенты подобия за 1 в обоих случаях имеем15+41=56; Проверим данный ответ через длину их общей высоты АД, она должна иметь одно и то же значение: АД^2=41^2-40^2=81; 15^2-12^2=81; 81=81; Решение верно! ответ:АВ=15; ВС=41;

Рассмотрю три решения:

1) Пусть сторона AB = x, тогда AH = 0,5 * x, BH = 2 * (√3) ( по условию )

Тогда по теореме Пифагора: x ² = (0,5 * x) ² + (2 * (√3)) ²

                                                        x ² = (1/4 * x ²) + 4 * 3

                                                        x ² - (x ² / 4) = 12

                                                        (4 * x ² - x ²) / 4 = 12

                                                         3 * x ² = 48

                                                        x ² = 16

                                                        x = 4.

2) Треугольник ABH - прямоугольный, угол BAH = 60°.

sin 60° = BH / AB

AB = BH / sin 60°

AB = (2 * (√3)) / ((√3) / 2)

AB = 4.

 

3) Медианы в равностороннем треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 2:1 от вершины. 2/3 часть медианы будет являться радиусом описанной окружности. Значит R = (2 / 3) *   2 * (√3) = (4 * (√3)) / 3.

По теореме синусов:

2R = AB / sin 60°

(2 * 4 * (√3)) / 3 = AB / ((√3) / 2)

AB = (√3) / 2 * (8 * (√3) / 3)

AB = 4.