Пусть имеем треугольник АВС и вневписанные окружности ra = 3, rb = 5, rc = 4.
Впишем в треугольник окружность с радиусом r.
Точки касания этой окружности стороны АС и rа к её продолжению соответственно В1 и В2.
Находим радиус вписанной окружности в треугольник АВС по известным радиусам вневписанных окружностей.
.
(1/r) = (1/3) + (1/4) + (1/5) = 47/60.
Получаем радиус вписанной окружности r = 60/47.
Центры окружностей О и О1 лежат на биссектрисе угла А.
Используем свойства вписанной и вневписанной окружностей.
Квадрат полупериметра р треугольника АВС равен:
р² = ra*rb + rb*rc + rc*ra = 3*5 + 5*4 + 4*3 = 47.
Отсюда р = √47.
Тогда площадь S треугольника АВС равна: S = rp = 3√47 ≈ 8,75189949.
Применим свойства: отрезок АВ2 = р, отрезок АВ1 = р - а.
Из подобия треугольников выводим пропорцию: r/АВ1 = rа/АВ2. Подставим значения: r/(р - а) = rа/р, или rр = rа(р - а).
Раскроем скобки и выделим а: а = р - (рr/rа) = (р(rа - r)/rа.
По аналогичным формулам находим стороны b и с.
Подставив значения, получаем:
а = 3,93835477 b = 5,105274702 c =4,667679728 .
Делаем проверку правильности найденных значений.
По формуле Герона S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)).
Подставив значения, находим S = 8,75190051 . что соответствует уже найденному значению.
Вторая проверка: по теореме косинусов угол А равен 47,26788996°.
С другой стороны А = 2arctg(ra/p) = 2arctg(3/√47) = 47,26788996 ° верно.
ответ: 552 см²
Объяснение: Назовём трапецию АВСD, ВС||AD; АВ перпендикулярна основаниям.
AB:CD=4:5;
AD-BC=18 см
BD=40 см
————————
Примем коэффициент отношения боковых сторон равным х. Тогда АВ=4х, СD=5х.
Трапеция прямоугольная, поэтому высота СН параллельна и равна АВ.
Из ∆ СНD по т.Пифагора CH²+HD²=СD²⇒
HD²=25x²-16x²=9x²⇒
HD=3x.
АВСН - прямоугольник, АН=ВС. Так как АD-BC=18 см, то НD=18 см, т.е. 3х=18, х=6 см.
АВ=4х=24 см
По т.Пифагора из ∆ АВD
АD²=BD²-AB²
AD=√(1600-576)=32 ⇒
BC=32-18=14 см
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S(ABCD)=0,5•(BC+AD)•CH
S(ABCD)=552 см²
