В треугольнике АВС ОВ - биссектриса угла В, так как точка О равноудалена от сторон АВ и ВС. Или в треугольнике АВС ОК = ОР, так как ОВ - биссектриса. Нам дано и то и другое.
Треугольник АВС делится этой биссектрисой на два треугольника. Причем Sabc = Sabo + Scbo.
По Герону Sabc = √(p*(p-a)(p-b)(p-c)), где р - полупериметр треугольника АВС, равный (32+48+40):2 = 60.
Sabc = √(60*20*28*12) = 240√7.
Sabo = (1/2)*h*AB =16*h.
Scbo = (1/2)*h*BC = 24*h.
240√7 = 16h +24h =40h => h = 6√7.
h = OK = OP.
ответ: ОК=ОР = 6√7 ед.
Или так:
Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как стороны, к которым проведена эта высота. то есть Sabo/Scbo = 32/48 = 2/3. Sabc = 240√7 (найдено выше) => Sabo = 96√7 => h =2S/AB = 192√7/32 = 6√7.
сделаем построение по условию
по теореме косинусов
AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2*AD*BD*cosBDA <обозначим AD = t и подставим значения
2^2 = t^2 + 1^2 - 2*t*1*cos30
t^2 - t√3 -3 =0 <квадратное уравнение
t1 =(√3-√15) / 2 < корень не подходит -ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ √3<√15)
t2 =(√3+√15) / 2 < AD = t2 = (√3+√15) / 2
площадь треугольника S(ABD) =1/2*AD*DB*sinBDA =1/2*(√3+√15) /2*1*1/2=(√3+√15) /8
медиана BD делит треугольник АВС на два равновеликих треугольника, значит
S(ABC) = 2*S(BDA) = 2*(√3+√15) /8 =(√3+√15) /4
ОТВЕТ площадь треугольника АВС =(√3+√15) /4 или =√3(1+√5) /4
** ответ на выбор
