Катеты a, b
Гипотенуза с
Высота к гипотенузе h
--- 1 ---
Площадь через катеты
S = 1/2*a*b = 11
a*b = 22
--- 2 ---
Гипотенуза по т. Пифагора
c² = a² + b²
--- 3 ---
Периметр
P = a + b + c = 22
c = 22 - a - b
c² = a² + 2ab - 44a + b² - 44b + 484
вычтем отсюда выражение для гипотенузы по т. Пифагора
0 = 2ab - 44a - 44b + 484
ab - 22a - 22b + 242 = 0
Вычтем теперь выражение из пункта 1 для площади
- 22a - 22b + 220 = 0
- a - b = - 10
a + b = 10
b = 10 - a
--- 4 ---
Теперь снова выражение для площади из пункта 1
ab = 22
a(10 - a) = 22
-a² + 10a - 22 = 0
a² - 10a + 22 = 0
Решаем квадратное ур-е
a₁ = (10 - √(100 - 4*22))/2 = (10 - √12)/2 = 5 - √3
a₂ = (10 + √(100 - 4*22))/2 = (10 + √12)/2 = 5 + √3
Оба решения подходят, но в силу симметрии уравнений по a и b являются просто перестановкой этих двух переменных
Итак, катеты a = 5 - √3, b = 5 + √3
--- 5 ---
Гипотенуза
c² = a² + b² = (5 - √3)² + (5 + √3)² = 25 - 10√3 + 3 + 25 + 10√3 + 3 = 56
c = √56 = 2√14
--- 6 ---
Площадь через гипотенузу и высоту к ней
S = 1/2*c*h = 11
c*h = 22
2√14*h = 22
h = 11/√14 = 11√14/14
В основании правильной пирамиды лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Основание данной пирамиды - равносторонний треугольник АВС, боковые грани - равнобедренные треугольники. SO - высота, О - центр основания.
M и N — середины рёбер SA и SB, => MN- средняя линия ∆ ASB.
MN║AB=> MN║ABC
Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. =>
Плоскость сечения перпендикулярна АВС. Для её построения из середины Q отрезка MN опустим перпендикуляр QP на плоскость АВС.
QP║SO, Р принадлежит высоте основания СН.
Прямая KR- линия пересечения плоскости альфа и АВС. Плоскость КМNR содержит прямую QP, перпендикулярную АВС => она перпендикулярна АВС ( свойство).
КМNR - сечение, площадь которого нужно найти, и является трапецией.
Площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований.
S(KMNR)=QP•(MN+KR):2
Высота трапеции QP║ЅО, MN как средняя линия ∆ АЅВ делит апофему ЅН пополам. ⇒ QP - средняя линия ∆ ЅНО и равна половине SO.
ОС- высота и медиана ∆ АВС, О - центр ∆ АВС и делит СН в отношении 2:1
ОH =ВС•sin60°= 2√3•(√3/2)=3
OC=2, OH=1
Из прямоугольного ∆ ЅОС по т.Пифагора ЅО=√(SC*-OC*)=√(16-4)=2√3 => QP=√3
В прямоугольном ∆ ЅОН , где QP- средняя линия, НР=РО=1:2=0,5
Тогда СР=СО+ОР=2+0,5=2,5
KR|║AB
∆ КСR- равносторонний, все его углы 60°.
KR=CR=CP:sin60°=2,5:(√3/2)=5/√3=5√3/3
MN=AB:2=√3
S(KMNR)=0,5•[√3+(5√3/3)•√3=4 (ед. площади)
