Даны вершины треугольника A (1;2;3), B (3;4;4), C (4;6;3).
а) Находим координаты точки Е как середины ВС:
Е(3,5; 5; 3,5).
Вектор медианы AE: (2,5; 3; 0,5).
б) Находим длины сторон АВ и АС треугольника.
Δx Δy Δz
AB 2 2 1 Модуль
Квадраты 4 4 1 9 3.
АС 3 4 0
Квадраты 9 16 0 25 5.
Биссектриса AD делит точкой D сторону ВС в отношении АС/АВ = 5/3.
Находим координаты точки D по формуле x(D) = (x(C) + λ*x(B))/(1 + λ).
Получаем: точка D - основание биссектрисы AD на ВС.
x y z
3,375 4,75 3,625.
Теперь находим вектор AD:
Вектор АD:
x y z Модуль
2,375 2,75 0,625 3,68697.
Объяснение:
Проведём перпендикуляр в точке О. Я его назвал H1H2. Точка О лежит на средней линии трапеции (так как концы этого отрезка на серединах сторон). Средняя линия параллельна основаниям (такое свойство у средней линии трапеции). Значит H1H2 перпендикулярно и средней линии и основаниям.
Докажем, что H1O=H2O, это можно сделать по теореме Фалеса, утверждающей, что параллельные прямые отсекают на секущих равные отрезки, (отрезки на боковой стороне равны, значит и на перпендикуляре равны).
И теперь рассматриваем треугольники AOH2 и COH2, о чудо они равны по 2 углам и стороне между ними (OH2=OH1, только что доказали, угол AH2O=OH1C=90 (там перпендикуляры), угол AOH2=COH1 как вертикальные)
А если треугольники равны, то и стороны против равных углов в них равны (есть такая теорема) значит и AO=OC равны ч.т.д.
