Два внеш­них угла тре­уголь­ни­ка при раз­ных вер­ши­нах равны. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 86 см, а одна из сто­рон равна 20 см. Най­ди­те две дру­гие сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка.​

Этот интерфейс меня добьет. Я набираю комментарий, и он НЕ отображается. Ладно, продублирую в решении. 
Это условие - неверное. 
Пусть М - точка пересечения заданной биссектрисы с искомой стороной. Если продлить биссектрису за М на 8, и с центром в полученной точке построить окружность радиуса 12 (эта окружность пройдет через заданную точку пересечения биссектрис), то искомой стороной может быть ЛЮБАЯ хорда построенной окружности, проходящая через точку М.

Можно всё это строго доказать, но для доказательства НЕВЕРНОСТИ САМОЙ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ достаточно увидеть, что это построение верно в 2 случаях
1. треугольник равнобедренный, сторона равна 8√5 (это 2√(12^2 - 8^2))
2. вырожденный треугольник, когда угол, который биссектриса делит пополам, равен 0. Тогда сторона равна 24 - диаметру построенной окружности. 
В общем случае сторона может принимать значения в промежутке между 8√5 и 24.

Я вас должен огорчить. Я могу легко (вру - не легко:)) построить много треугольников по заданной биссектрисе и положению на ней точки пересечения биссектрис. Делается это так.

Пусть р = 2/3; M = 10

Продолжим биссектрису за основание. Центр окружности радиуса M*р/(1-р^2) лежит на этой прямой на расстоянии М/(1-р^2) от ВЕРШИНЫ треугольника.

Вы можете легко проверить, что окружность пройдет через точку пересечения биссектрис, лежащую от вершины на расстоянии М/(1+р). Кроме того, для любой точки этой окружности расстояния до концов биссектрисы относятся, как p (я тут в одной задачке уже показывал это, попробуйте сами доказать).

Так вот, теперь из ВЕРШИНЫ биссектрисы проводится ПРОИЗВОЛЬНАЯ секущая к этой окружности, А ТАКЖЕ  - СИММЕТРИЧНАЯ ЕЙ относительно биссектрисы. Первая точка пересечения секущей соединяется прямой со ВТОРОЙ точкой пересечения симметричной секущей. Полученная прямая ОБЯЗАТЕЛЬНО пройдет через конец биссектрисы (тоже докажите!). Таким образом, у нас получился треугольник, удовлетворяющий условию задачи, и угол при вершине у него произвольный в диапазоне от нуля до максимального угла, который определяется из условия, что секущая становится касательной. Соответственно, длина основания может варьироваться от расстояния между точками касания 2 касательных (посчитайте сами, это 2*M*p/корень(1-р^2) = 8*корень(5)) до диаметра окружности (24).

Если что-то непонятно, еще раз - условию соответствует ЛЮБОЙ треугольник, построенный (по заданой биссектрисе и положению на ней точки пересечения биссектрисс который я предложил. Достаточно на построенной окружности выбрать произвольную точку, и соединить её с концом биссектрисы, принятым за вершину, провести симметричную относительно биссектрисы линию и соединить НАКРЕСТ точки пересечения - получится треугольник, удовлетворяющий условию.

Глвная тонкость в том, что такие перекрестные соединения ВСЕ пересекаются в одной точке - втором конце биссектрисы.

В понедельник пришлю чертеж.  

 

Чтобы понять, что решение НЕ единственно, достаточно сразу сделать предположение, что треугольник равнобедренный. Тогда решение элементарно. А теперь пусть угол при вершине равен нулю (ну, почти). Опять таки решение получается элементарно из пропорциональности отрезков на прямой. И это будут разные решения.

Можно использовать теорему косинусов и получить связь между углом при вершине Ф и длинной основания

с = cos(Ф/2)*2*М*р/(1-р^2) = cos(Ф/2)*24. При Ф = 0 как раз получится 24, но ничто не мешает взять Ф, не равное 0. Условие этому не препятствует.