Трапеция ABCD Меньшее основание BC=6см,а диагональ AC образует с большим основанием угол 45 градусов, О - точка пересечения диагоналей AO =5√‎2, OC =2√‎2. Найдите площадь трапеции

Стороны ромба равны, следовательно сторона ромба= 40:4=10 см. 
Проведем диагональ, противоположную углу в 60 градусов. Имеем равнобедренный треугольник. 
опустим перпендикуляр на противоположную диагональ. Т.К. треуг. у нас равнобедренный, то он является и биссектрисой, т.е разделил угол 60 градусов пополам. Теперь воспользуемся теоремой, что катет , лежащий против угла в 30 градусов = половине гипотенузы, имеем половина искомой диагонали = 10:2=5, вся диагональ = 10 см.
А чертеж просто нарисуй ромб.

Прощадь ромба 
S = a^2*sin(α)
Площадь каждой из трёх равновеликих фигур
S = a^2*sin(α)/3
Две фигуры - это треугольники АВЕ и AFD, третья - четырёхугольник AECF
Четырёхугольник AECF в свою очередь состоит из двух равных треугольников AEC и ACF
Значит площадь треугольника ABE в два раза больше площади треугольника AEC
AH - высота для треугольника ABE и треугольника AEC
АН = АB*sin(HBA) = AB*sin(BAD) = a*sin(α)
Т.к. высота для треугольника ABE и треугольника AEC общая, то их площади относятся как основания треугольников
и ВЕ = 2EC = 2/3a
По теореме косинусов
AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2*AB*BE*cos(π-α) = a^2 + 4/9*a^2 + 2*a*2/3*a*cos(α) = 13/9*a^2 + 4/3*a^2*cos(α) = a^2*(13/9 + 4/3*cos(α))
AE = a*(13/9 + 4/3*cos(α))^(1/2)