1 задание

Дано:
прямоугольный треугольник АВС
угол С равный 90 г.
АВ+ВС=15 см.
угол В равный 60 г.

Найти:
АВ, ВС

2 задание
Дано:
угол МКN
угол МКN равен 90 г.
КР перпендикулярен MN
MN равен 36 дм.
угол М равен 30 г.

Найти:
МР и РN

задание 3

Дано:
треугольник АВС - равнобедренный
Р - середина АС
РN перпендикулярен ВС
АВ = 18 см.

Найти:
ВN

задание 4

Дано:
треугольник PQS
PR = PQ
угол PRQ = 120 г.
PS перпендикулярен QR
PS = 8 см.

Найти:
PQ

Интересно, где Вы учитесь, если такие задачи задают. Вот решение этой задачи без теории (вывод формул ищите в учебнике или в записях занятий)
Мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3;
Окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. Если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции
ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других.
то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3;
Остается подставить это в известные соотношения
1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3;
и
4R = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где R - радиус описанной окружности.
то есть 4R = r^2*(1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3;
это все.
Я бы конечно мог привести вывод этих формул, но Вам бы никогда не задали эту задачу, если бы не выводили их на занятиях.
К примеру, площадь S исходного треугольника равна
S = (p - a)*ρ1 = (p - b)*ρ2 = (p - c)*ρ3 = p*r; откуда
1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a)/S + (p - b)/S + ( p - c)/2 = (3p - a - b - c)/S = p/S = 1/r;
Вывод формулы для R намного сложнее технически, но по сути - то же самое.

AD = 15 см.

Объяснение:

Дано: AD⊥α, AN = 17 см. AM = 25 см.  DM - DN = 12 см.

Найти AD.

Решение.

Пусть DN = x, тогда DM = х+12. (ортогональная проекция большей наклонной больше ортогональной проекции меньшей наклонной).

По Пифагору в прямоугольных треугольниках ADN и ADM имеем:  AD² = AN² - DN² и AD² = AM² - DM² соответственно.

Тогда AN² - DN² = AM² - DM²  или 17² - х² = 25² - (х+12)². =>

24х = 25² - 17² - 12²  =>  х = (625 - 289 - 144)/24 = 192/24 = 8 см.

Итак, DN = 8 см.  => по Пифагору из треугольника ADN:

AD = √(AN² - DN²) = √(17² - 8²) = √(25·9) = 15 см.