Менша основа рівнобічної трапеції ABCD (AB паралельно
BC) дорівнює 4 см, а її діагональ – 12 см. Кут між діагоналлю і
висотою, опущеною до більшої основи, дорівнює 30°
.
Знайдіть середню лінію трапеції.

Значит, сторона равностороннего треугольника равна 12√3:3=4√3.
Тогда площадь треугольника равна S=1/2*a²*sin60°= 1/2*(4√3)²*√3/2=12√3
r=2S/P=2*12√3/12√3=2( см).Это классическое решение, тангенс привязать непросто.

С тангенсом попробуем решить задачу так.
Поскольку треугольник равносторонний, всего его углы равны 60°.
Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.В равностороннем треугольнике биссектрисы являются одновременно высотами и медианами, поэтому центр окружности - точка пересечения медиан.
Радиус вписанной окружности равен 1/3 медианы.
Найдем медиану. Она равна  2√3*tg 60°=2√3*√3=6 (из треугольника, у которого катеты - медиана и половина стороны, на которую она опущена).
Тогда радиус вписанной окружности равен 6:3=2 (см).

Прямоугольный треугольник является половиной Прямоугольника.
Равенства Прямоугольного треугольника:
1)если два катета одного Прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника , то треугольники равны .
2)если гипотенузаза и острый угол одного Прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника , то треугольники равны.
3)если катет и острый угол одного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого треугольника , то треугольники равны.
4)если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника , то треугольники равны.