Найти смешанное произведение(b,c +a, b, +2c) если abc=5​

Чтобы найти смешанное произведение, нам нужно умножить кросс-произведение двух векторов на третий вектор и затем сложить результаты.
Для данного вопроса, у нас есть вектора (b, c + a, b + 2c), и нам нужно найти их смешанное произведение при условии abc = 5.

Сначала найдем кросс-произведение двух векторов (b, c + a, b + 2c) и (c, b, 2c):

(b, c + a, b + 2c) × (c, b, 2c) =
= (b*(b + 2c) - (c + a)*b, (b + 2c)*c - b*2c, c*(c + a) - (b + 2c)*b)

Расширим эту формулу:

(b*(b + 2c) - (c + a)*b, (b + 2c)*c - b*2c, c*(c + a) - (b + 2c)*b) =
= (b^2 + 2bc - bc - ab, bc + 2c^2 - 2bc, c^2 + ac - b^2 - 2bc)

Упростим каждую компоненту:

(b^2 + 2bc - bc - ab, bc + 2c^2 - 2bc, c^2 + ac - b^2 - 2bc) =
= (b^2 - bc - ab + 2bc, 2c^2 - bc, c^2 + ac - b^2 - 2bc) =
= (b^2 + bc - ab + 2bc, 2c^2 - bc, c^2 + ac - b^2 - 2bc)

Теперь умножим полученное кросс-произведение на третий вектор (abc):

(abc)*(b^2 + bc - ab + 2bc, 2c^2 - bc, c^2 + ac - b^2 - 2bc) =
= (abc)*(b^2 + bc - ab + 2bc) + (abc)*(2c^2 - bc) + (abc)*(c^2 + ac - b^2 - 2bc) =
= abc*(b^2 + 3bc - ab) + 2abc*c^2 - abc*b + abc*c^2 + abc*ac - abc*b^2 - 2abc*bc =
= abc*(b^2 + 3bc - ab + c^2 + ac - b^2) + 3abc*c^2 - 2abc*b - 2abc*bc =
= abc*(2bc + 2c^2 + ac) + 3abc*c^2 - 2abc*b - 2abc*bc

Подставим значение abc = 5:

5*(2bc + 2c^2 + ac) + 3*5c^2 - 2*5b - 2*5bc =
= 10bc + 10c^2 + 5ac + 15c^2 - 10b - 10bc =
= 25c^2 + 5ac - 10b

Таким образом, смешанное произведение (b, c + a, b + 2c) при условии abc = 5 равно 25c^2 + 5ac - 10b.