Сторона равностороннего треугольника AC длиной 78 см является диаметром окружности. Окружность пересекается с двумя другими сторонами в точках D и E. Определи длину DE.
ответ: DE=?

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум  углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:

Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.
Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:

Следовательно стороны в два раза больше:
Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:

ответ: 2/3

Середины ребер АВ и ВС находятся в одной плоскости (в плоскости основания (АВC)) -- их нужно просто соединить...
середина ребра DD1 точка D'' лежит на линии пересечения плоскостей 
(ADD1) и (CDD1), поэтому нужно построить точки пересечения прямой (А''B'') 
с этими плоскостями, т.е. с прямыми 
(AD) --это линия пересечения плоскостей (АВС) и (ADD1) и
(DC) --это линия пересечения плоскостей (АВС) и (СDD1)...
продолжив эти три прямые (А''B''), (AD) и (DC) точки их пересечения
соединим с D''...
соединять прямой линией можно точки лежащие в одной плоскости)))