1. SABC - пирамида, АВ = ВС = √5, АС = 4.
Пусть SO - высота пирамиды, тогда АО, ВО и СО - проекции боковых ребер на плоскость основания, а углы SAO, SBO и SCO - углы наклона боковых ребер к основанию и равны 45°. Тогда ΔSAO = ΔSBO = ΔSCO по катету (общий SO) и острому углу.
Значит АО = ВО = СО, значит О - центр описанной около АВС окружности.
Стоит запомнить: Если боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к основанию, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания.
Так как треугольник АВС равнобедренный, О лежит на высоте ВН, проведенной к основанию. ВН является и медианой: АН = 2.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
ВН = √(АВ² - АН²) = √(5 - 4) = 1, ⇒
sin∠BAH = BH / AB = 1/√5
По следствию из теоремы синусов:
2R = BC / sin∠BAH = √5 / (1/√5) = 5
R = 5/2 = 2,5, т.е. ВО = 2,5
ΔSBO прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный:
SO = BO = 2,5
V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO
V = 1/3 · 1/2 · 4 · 1 · 2,5 = 5/3 куб. ед.
Так как ВО больше ВН, центр описанной около треугольника АВС окружности лежит вне треугольника. Чертеж пришлось уточнить.
2. Если боковые ребра пирамиды равны, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. О лежит на высоте ΔАВС, так как он равнобедренный.
ВН - высота и медиана, ⇒ АН = СН = АВ/2 = 3 см.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
АВ = √(ВН² + АН²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10 см.
sin∠BAH = BH/AB = 9/(3√10) = 3/√10
По следствию из теоремы синусов:
2R = BC / sin∠BAH = 3√10 / (3/√10) = 10
R = 10/2 = 5 см, т.е. ВО = 5 см
ΔSOB: ∠SOB = 90°, по теореме Пифагора
SO = √(SB² - BO²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см
V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO
V = 1/3 · 1/2 · 6 · 9 · 12 = 108 см³
1)Косинус угла между векторами, зная их координаты вычисляется по формуле:
cos α = 
Здесь x1,x2, y1, y2 - координаты двух векторов.
Подставив в эту формулу координаты, получим:
cos α = (0 * 20 + 60) / √16 * √(20² + (-15)²) = 60 / 4 * √625 = 60 / 4 * 25 = 60/100 = 0.6
3)Доказать этот факт несложно. Достаточно соединить эти точки отрезками и доказать, что BA и BC будут перпендикулярными. Тогда мы докажем, что угол между векторами будет равен 90°, то есть они будут перпендикулярными. Теперь найдём каждую из этих сторон.(AB, BC,AC). Это можно сделать, воспользовавшись методом координат, используя извстную формулу, которую я здесь приводить не буду,(вы можете вполне сами найти её в интернете, а сразу проведу вычисления по ней, чтобы не загромождать место.
AB = √((2 - 0)² + (3 - 1)²) = √(4 + 4) = √8
BC = √((-1 - 2)² + (6 - 3)²) = √(9 + 9) = √18
AC = √(-1)² + (6 - 1)² = √(1 + 25) = √26
Теперь заметим, что (√26)² = (√18)² + (√8)², то есть сумма квадрата одной стороны равна сумме квадратов двух других сторон(это обратная теорема Пифагора), значит данный треугольник является прямоугольным, причём по длине сторон можно заключить, что AC - гипотенуза, тогда AB и BC - катеты, которые взаимно перпендикулярны. Итак. мы доказали, что между данными векторами прямой угол, значит они перпендикулярны между собой, что и требовалось доказать.
