Вычислить объём треугольной пирамиды KABC, если ∠ACB=90°; AC=CB; AB=2⋅g; каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол ϕ.

Вершина пирамиды проецируется

в середину гипотенузы
в точку пересечения биссектрис основания
в центр вписанной в основание окружности
в точку пересечения медиан основания

V=⋅g⋅ϕ.

(Пример заполненного ответа: V=7⋅a2⋅cosβ12.
Дробь несократима. Числа в числителе и знаменателе — целые положительные. Если числитель не содержит числового коэффициента, то записать «1».)

Сделаем рисунок. 
Так как плоскость α параллельна прямой АВ, то линия пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника АВС - на ней лежит отрезок КМ, - также параллельна АВ.
Отрезок КМ параллелен АВ и  отделил от треугольника АВС подобный ему по равенству углов   ∆ КМС,  т.к. сходственные углы обоих равны по свойству параллельных прямых АВ и КМ и секущих ВС и АС.
По условию
 КС:АК=4:5, отсюда 
АС:КС =  (АК+КС):КС=9:4
Из подобия треугольников АВС и КМС следует отношение
АВ:КМ=9:4
4·АВ=9·КМ
АВ+КМ=26 см
АВ=26 - КМ
4(26-КМ)=9КМ
104 -4КМ=9КМ
13 КМ=104 см
КМ=8 см

Сторона треугольника образует арифметическую прогрессию. Радиус вписанной окружности равен 3см. Найдите среднюю по длине высоту треугольника. 
 Стороны треугольника не могут относиться как 1:2:3 - никакая сторона треугольника не может быть равна сумме двух других сторон.

Следующее отношение, составляющее арифметическую прогрессию, это отношение 3:4:5, и это отношение сторон прямоугольного ( египетского ) треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности находят по формуле
 r=(а+b-c):2,  где a и b - катеты,   c - гипотенуза.
Пусть коэффициент отношения сторон х.
Тогда 
 (3х+4х-5х):2=3 (см)
2х=6 
х=3
Катеты треугольника равны  3*3=9 см и 3*4=12 см Гипотенуза 3*5=15 см Пусть это треугольник АВС с прямым углом С и высотой СН, которая делит АВ на отрезки АН и ВН
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Найдем эти отрезки.

1) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
ВС²=АВ*ВН 
81=15 ВН
ВН=81:15=5,4 
2) Тогда  АН=15-5,4=9,6
СН=√(АН*ВН)=√(9,6·5,4)=7,2 см
Высота этого треугольника из прямого угла к гипотенузе равна 7,2 см. И это средняя по длине  высота этого треугольника, т.к. две другие высоты - катеты.