Тема прямоугольные треугольники 2часть

1. Треугольник BNC равносторонний, значит
∠NBC = 60°
∠ABN = 90° - ∠NBC = 30°

AB = BN, значит ΔABN равнобедренный, углы при основании равны:
∠BAN = ∠BNA = (180° - 30°)/2 = 75°

∠NAD = 90° - ∠BAN = 90° - 75° = 15°

2. ∠BAF = ∠DAF так как AF - биссектриса,
∠DAF = ∠BFA как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей AF, ⇒ ∠BAF = ∠BFA, треугольник BAF равнобедренный,
АВ = BF = 2 см

∠CFE =  ∠AFB как вертикальные
∠CEF = ∠BAF как накрест лежащие при пересечении AB║CD секущей АЕ,
∠AFB = ∠BAF как доказано выше, ⇒
∠CFE = ∠CEF, ⇒ треугольник CFE равнобедренный,
CF = CE = 3 см

АВ = 2 см
ВС = 2 + 3 = 5 см
Pabcd = (AB + BC)·2 = (2 + 5)·2 = 14 см

3. В треугольнике АВЕ АВ = 5 см, АЕ = 3 см, ВЕ = 4 см, значит это прямоугольный (египетский) треугольник, значит ВЕ - высота трапеции.
ЕВСК - прямоугольник (ВЕ = СК как высоты трапеции, ВЕ║СК как перпендикуляры к одной прямой), ⇒ ЕК = ВС = 6 см.

ВС = 6 см
AD = 3 + 6 + 1 = 10 см

Sabcd = (AD + BC)/2 · BE = (10 + 6)/2 · 4 = 32 см²

(См. рисунок) Прямые ND и DC пересекаются в точке D: ND ∩ DC = D

⇒ по теореме стереометрии о пересекающихся прямых через них проходит плоскость и притом только одна – плоскость γ ("гамма").

Две точки прямой NC лежат в плоскости "гамма", значит вся прямая NC лежит в этой плоскости: NC ⊂ γ. Так как прямая KN пересекает NC в точке N, принадлежащей прямой NC: N ∈ NC, то KN и NC также лежат в одной плоскости. Итак, точки N, D, C, K образуют плоскость γ.

Поскольку плоскость α параллельна плоскости β: α║β,

то по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей: линии пересечения будет параллельны друг другу ⇒ KN ║ DC ⇒ углы

NDC и KND – односторонние; их сумма равна развёрнутому углу:

∠NDC + ∠KND = 180° ⇒ ∠KND = 180° - ∠NDC = 180° - 80° = 100°.

ответ: ∠KND = 100°