№1143 из учебника Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 63). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.
Во почему периметры разных треугольников сокращаюстя? В числителе периметр большого треугольника, в знаменателе периметр маленького, они не равны, так почему они сокращаются?

1. воспользуемся тем. что скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между векторами. по первому рисунку IuI=√(2²+2²)*5=5√8=2*5√2=10√2; IvI=2*5=10, угол между этими векторами α=45°; поэтому скалярное произведение этих векторов равно 25*2√2*2*cos45°=25*4√2*√2/2=25*4=100

2. можно отложить от одной точки векторы →а и →m, тогда они будут одинаковы по длине, равной 2*5=10 и противоположны по направлению, т.е. угол между векторами 180°, cos180°=-1, и скалярное произведение  равно

10*10*(-1)=-100

3. если же отложить от одной точки векторы →n и →d, то видим, что угол между этими векторами равен 90°, тогда скалярное произведение равно нулю, т.к.  cos90°=0

ответ 1. 100; 2. -100; 3. 0

Если угол ADF=90°-то ADB тоже 90°. Следует что BD - высота. Если D середина основания, тогда BD еще и медиана.

Доказательство:

Рассмотрим ∆ ADC и ∆ BDC.

1) ∠ADC=∠BDC=90º

2) AD=CD (так как BD — медиана треугольника ABC по условию).

3) Сторона BD — общая.

Следовательно, ∆ ADC = ∆ BDC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).

2) По аналогии с первым.

3) 18 (48-15-15)