Основа прямого паралелепіпеда – паралелограм, сторони якого дорівнюють 3см і 4 sqrt{2} см, а кут між ними – 45º. Висота паралелепіпеда дорівнює 6см. Знайти об’єм паралелепіпеда.

1) Если один из внешних углов равен 135 гр, значит два угла внутренних равны 45 гр. В прямоугольном треугольники, если углы по 45 гр., катеты равны a, а гипотенуза равна a * sqrt(2). Соответственно, a * sqrt(2) = 10 => a = 5 * sqrt(2). Произведение катетов: a * a = 5 * 5 * 2 = 50.
2) В прямоугольном треугольнике, в котором углы 30, 60, 90 гр, стороны равны a, a * sqrt(3), 2 * a соответственно напротив каждого угла. Напротив 30 гр будет наименьшая сторона (a). Разность между гипотенузой и меньшим катетом: 2a - a = 4 => a = 4. Таким образом, гипотенуза равна 8 см.

Не буду рисовать рисунок ! так как у предыдущего ответа есть рисунок я буду по ней решать!
треугольник равнобедренный , по свойству касательной проведенной с одной точки 
OB касательная к окружности, стало быть ВЕ секущая  , по формуле 
OB^2=BK*BE =BK(EK+KB)
СО тоже секущая и она же высота равнобедренного треугольника , по свойству 
CE*EK=CL*LE  (точка L это точка где окружность пересекает  высоту)
у нас известно что ОВ это середина значит 40/2=20
Найдем катет треугольника так как у нас треугольник равнобедренный то 
2BC^2=40^2
BC=20√2
Теперь найдем высоту треугольника  H=√(20√2)^2-20^2 = 20 
и найдем отрезок CL=20-2R = 2см

Ставим все в наше уравнение
400=BK(EK+KB)
40=(CE+EK)*CE
СЕ+EK+BK=20√2

решаем систему! 
сделаем замену чтобы удобней решалось 
BK=x
EK=y
CE=z

400=x(y+x)
40=y*(z+y)
x+y+z=20√2

выразим y+z  третьего уравнения 
y+z=20√2-x

40=y*(20√2-x)
400=x(y+x)

40=20√2y-yx
400=yx+x^2

40=20√2y-(400-x^2)
440=20√2y+x^2
y=440-x^2/20√2 

получаем x =-√82-29√2/2   y=√82 =EK  ответ   √82