Если набранное решение пропадет еще раз - значит, не судьба.
Известная формула длины биссектрисы (если надо показать, как это получается, обращайтесь :))
L^2 = a*b - x*y;
Здесь L = 12, a = 14; b = 35; пусть с - третья сторона, тогда x и y - отрезки, на которые биссектриса делит с.
Из известного свойства биссектрисы x = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b); поэтому
L^2 = a*b*(1 - c^2/(a + b)^2); то есть
c^2 = (a + b)^2*(1 - L^2/(a*b));
Вычисления дают с^2 = 1695,4 (это точное значение, а не приближенное, если не понятно.)
Поскольку найдены все три стороны, задача в принципе уже решена. Но вычисления по формуле Герона в данном случае слишком громоздки. Проще найти угол напротив стороны с.
По теореме косинусов (обозначено t = cos(C))
с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*t;
t = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);
Подстановка значений дает t = - 7/25; (угол С тупой)
Отсюда sin(C) = 24/25;
Площадь S = a*b*sin(C)/2 = 14*35*(24/25)/2 = 235,2
Больше всего времени я потратил на поиски решения, использующего Пифагорову тройку 7,24,25, которая возникает по ходу решения. Увы - не вышло. Может, кто-то сообразит?
Sбок = 3 * 1/2 * b² * sin β
a = √ (2b² - 2b²*cosβ)
Sосн = a²√3/4 = (2b² - 2b²*cosβ)√3/4
Sполн = Sбок + Sосн = 3/2 * b² * sin β + (2b² - 2b²*cosβ)√3/4 =
= (b²/2) * (3sinβ + √3 - √3cosβ)
x = d * ctg(α/2) ⇒ 2x = 2d * ctg(α/2)
Sграни = 1/2 (2x)² * sin α = 2x²sinα = 2 d² * ctg²(α/2) * sinα
Sбок = 4 * Sграни = 8 d² * ctg²(α/2) * sinα
∠ACB = α
BC = a/2
BH ⊥AC ⇒BH - BH = d
a/2 = d/sin α (ΔBHC) ⇒ a = 2d / sin α
ΔABC: AC = a/2 /cos α = (d / sin α) / cosα = d / (sin α cos α)
Sбок = 1/2 Pосн * AC = 1/2 * 4 * a * AC = 2a * AC = 2 * 2d / sin α * d / (sin α cos α) =
= 4 d² / (sin²α * cosα)
Sосн = a² = 4d² / sin²α
Sп.п. = Sбок + Sосн = 4 d² / (sin²α * cosα) + 4d² / sin²α = 4d² / sin²α * (1 / cosα + 1)
