В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОK = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN.

Формула радиуса описанной вокруг правильного треугольника окружности 
R=a:√3
Если формулу не помните, можно найти радиус иначе. 
Центр описанной вокруг правильного треугольника окружности находится в точке пересечения его биссектрис ( высот, медиан). 
Эта точка делит высоту (медиану) в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Следовательно, радиус такой окружности равен 2/3   высоты правильного треугольника. 
Сторона  данного треугольника, найденная из периметра, равна
30:3=10 см
Углы правильного треугольника равны 60°
h=10(sin(60°)=(10√3):2=5√3
R=(5√3)*2:3==10/√3
Сторона вписанного правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. Следовательно, равна 10/√3.
Диагональ правильного четырехугольника ( квадрата) равна диаметру описанной вокруг него окружности. 
Следовательно, сторона а такого  квадрата равна 
a=10/√3)*sin(45°)=5√6 

Обозначим трапецию АВСD. Пусть ВС=а, тогда АD=4а.  

1) Треугольники, образованные пересекающимися диагоналями и основаниями трапеции, подобны по равным углам: вертикальные при точке пересечения О и накрестлежащие при основаниях, и k=AD:ВС=4:1⇒

АО:СО=4:1

2) Так как ЕF параллельна основаниям трапеции, ∆АВС и ∆АЕО подобны с коэффициентом подобия АО:АС,=4:(4+)=4/5

Аналогично из подобия ∆ ОDF и BDC отношение ОD:ВD=4/5

Тогда ЕО:ВС=ОF:ВС=4/5, откуда ЕО=ОF=8:2=4

Из отношения ЕО:ВС=4/5 находим ВС=5 (ед. длины)

АD=4ВС=4•5=20 (ед. длины)

———

Полезно запомнить  это свойство трапеции:

Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам.