Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
Рассмотрим основание:в образованном треугольнике MON: OM = ON как радиусы, следовательно, треугольник равнобедренный, угол MON = 60 градусов по условию, углы OMN и ONM равны как углы равнобедренного треугольника по основанию, то есть <OMN = <ONM = (180-60)/2 = 120/2 = 60 градусов. Все углы треугольника равны по 60 градусов, следовательно, треугольник - правильный, и OM = ON = MN = r. Найдем высоту ОК: из прямоугольного треугольника OKN: из теоремы Пифагора: OK^2 = ON^2 - KN^2, ON = r, KN = r/2, поскольку в правильном треугольнике высота является и медианой, OK^2 = r^2 - (r/2)^2 = r^2 - r^2/4 = 3r^2/4, OK = корень из 3 умножить на r поделить на 2. Рассмотрим треугольник CON: из теоремы Пифагора: CO^2 = CN^2 - ON^2, из вычислений на картинке CO = корень из (l^2 - r^2) поделить на два. Рассмотрим треугольник СОК: за теоремой Пифагора: CK^2 = CO^2 + OK^2, из вычислений СК = корень из (4l^2 - r^2) поделить на 2. Площадь образовавшегося сечения - это площадь треугольника CMN, которая равна стороне, умноженной на опущенную к ней высоту разделить на 2: S = CK*MN/2. S = (r*корень из ( 4l^2 - r^2)/8. Аналогично по первому решению, во втором случае углы OMN и ONM = (180 - 90)/2 = 45 градусов. Тогда по теореме синусов: MN/sin90 = ON/sin45, MN = корень из 2 умножить на r. Из треугольника CON: CO = корень из (l^2 - r^2). Площадь второго треугольника равна r умножить на корень из (4*l^2 = 2r^2)/2) поделить на 2.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
