точка а находится на одинаковом расстоянии от всех вершин равностороннего треугольника, => точка а проектируется в центр правильного треугольника.
найти длину перпендикуляра н.
центр правильного треугольника - точка пересечения медиан, высот, биссектрис, в которой они делятся в отношении 2: 3, считая от вершины.
высота h правильного треугольника вычисляется по формуле: h=a√3/2.
h=(4√3)*√3/2, h=6 см.
рассмотрим прямоугольный треугольник: катет - высота н, катет - (2/3)h=4 см, гипотенуза - расстояние от точки а до вершин треугольника =5 см.
по теореме пифагора: 5²=н²+4². н=3 см
ответ: расстояние от точки а до плоскости треугольника 3 см
теорема. прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
рассмотрим следующий рисунок.
ah - перпендикулярен плоскости α. am это наклонная в плоскости α; a - прямая, проведенная в плоскости α через точку м перпендикулярно к проекции hm наклонной. теперь, докажем, что прямая а перпендикулярна ам. для этого рассмотрим плоскость amh.
по условию прямая а перпендикулярна нм. также прямая а перпендикулярна ан, так как ан перпендикулярна плоскости α. прямые нм и ан принадлежат плоскости анм и пересекаются. из этих трех пунктов следует, что прямая а перпендикулярна плоскости амн, значит, она перпендикулярна любой прямой, которая принадлежит плоскости амн.
так как прямая ам принадлежит плоскости амн, значит прямая a и прямая ам перпендикулярны между собой. что и требовалось доказать.
так как в теореме присутствуют три перпендикуляра, ан, нм и ам, теорема называется теоремой о трех перпендикулярах. все три прямых угла показаны на рисунке, который в начале доказательства. помимо основной теоремы о трех перпендикулярах, существует и обратная теорема о трех перпендикулярах.
обратная теорема
прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.
. отрезок ad перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника авс. известно, что ав = ас = 5см, вс = 6 см, ad = 12 см. найти расстояние от точки а до прямой вс.
решение.
пусть точка е это середина вс. тогда вс будет перпендикулярным ае. то есть ае будет расстояние от точки а до прямой вс.
еа является проекцией de на плоскость авс. ае перпендикулярен вс, а следовательно по теореме о трех перпендикулярах de будет перпендикулярен bc. получаем, что de - это расстояние от точки d до отрезка bc. теперь будем определять ae.
ве = (1/2)*вс = 3 см.
так как треугольник аве прямоугольный, то можем по теореме пифагора найти ае.
ае^2 = ab^2-be^2 = 25-9 = 16, следовательно, ае = 4 см.
ответ. 4 см.
