1 Правильный четырехугольник это квадрат.
Пусть сторонs квадрата равны а, a = 4.
А) Радиус вписанной окружности перпендикулярен одной из сторон квадрата в точке касания, и равен половине стороны квадрата, то есть
R = a/2 = 4/2 = 2 (см).
Б) Теперь найдем радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, по формуле из общей формулы:
R = a*b*c/(4*S), где a, b, c – стороны произвольного треугольника, S – площадь треугольника.
Частный случай, когда треугольник равносторонний и, применяя теорему синусов:
R = b/(2*sin α), в равностороннем треугольнике все углы равны 60, b – сторона равностороннего (правильного) треугольника.
R = b/(2*sin 60), sin 60 = √3/2.
R = b/√3.
b = R*√3 = 2√3 (см).
2 а) Дуги АВ, ВС, СД и АД равны, значит АВСД - вписанный квадрат.
Длина окружности: С=4ВС=16π см.
С=2πR ⇒ R=C/2π=16π/2π=8 см - это ответ.
б) Диагональ квадрата - это диаметр окружности.
d=D=2R=16 см.
Искомые хорды равны сторонам квадрата: а=d/√2=16/√2=8√2.
АВ=ВС=СД=АД=8√2 см - это ответ.
Угол АВД равен 37 - опирается на ту же дугу, что и угол АСД.
Из треугольника АВД находим угол ВАС = 180-37-43-22 = 78.
Значит, угол А = 78+22 = 100 градусов.
Из треугольника АСД находим угол СДВ = 180-22-37-43 =78.
Значит, угол Д = 43+78 = 121 градус.
Угол ВСА равен углу ВДА, как опирающиеся на одну дугу АВ и равен 43 градуса.
Значит, угол С = 37+43 = 80 градусов.
Угол СВД равен углу САД, как опирающийся на одну и ту же дугу СД = 22 градуса.
Значит, угол В = 37+22 = 59 градусов
А+В+С+Д= 100+59+80+121 = 360 градусов.
