Для начала найдём все углы: <A - <B/2; <B = <C-30.
Объявим угол <A — как переменную "x", угол B объявим как: 2x, угол C объявим как: 2x+30.
<A = x
<B = 2x
<C = 2x+30
x+2x+2x+30 = 180°
5x+30 = 180°
5x = 150° ⇒ x = 150/5 = 30° ⇒ <A = 30°
<B = 30*2 = 60°
<C = <B+30 = 90°.
Как мы видим, наш треугольник ABC — прямоугольный, так как имеет один прямой угол(<C).
AB — гипотенуза, известный нам катет — BC.
Катет BC — лежит напротив угла A(30°).
Теорема 30-градусного угла в прямоугольном треугольнике такова: катет, протолежащий углу 30-и градусов в прямоугольном треугольнике — равен половине гипотенузы.
Тоесть: BC = AB/2; BC = 2 ⇒ AB = 2*2 = 4.
Вывод: AB = 4.
По свойству прямоугольника его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, при этом образуя две пары равных и равнобедренных треугольников ⇒ АО = СО = ВО = ОD ⇒ ΔAOB - равнобедренный, так как АО = ВО. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠АВО = ∠ВАО = 36°
∠АОD = ∠ABO + ∠BAO = 2•∠ABO = 2•36° = 72° - по свойству внешнего угла ∠АОD
ответ: 72°
[2]Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из углов равен 20°.В прямоугольной трапеции присутствуют два прямых угла при одной боковой стороне, при другой - острый и тупой угол ⇒ ∠ADC = 20°, ∠ABC = 90° , ∠BAD = 90°. Сумма углов в четырёхугольнике составляет 360° ⇒ ∠BCD = 360° - 90° - 90° - 20° = 180° - 20° = 160°
ответ: 20° , 90° , 90° , 160°
[3]Стороны параллелограмма относятся как 1:2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма.По свойству параллелограмма его противолежащие стороны попарно параллельны и равны ⇒ AB = CD , BC = AD
Пусть AB = x, тогда BC = 2x, составим уравнение:
P (abcd) = 2•(AB + BC)
30 = 2•(x + 2x) ⇒ 6x = 30 ⇒ x = 5 см
Значит, AB = CD = 5 см, BC = AD = 2•5 = 10 см
ответ: 5 см, 10 см, 5 см, 10 см
[4]В равнобедренной трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции.По свойству равнобедренной трапеции углы при его основаниях равны ⇒ ∠АВС = ∠BCD , ∠BAD = ∠CDA
По условию ∠BAD + ∠CDA = 96° ⇒ 2•∠BAD = 96° ⇒ ∠BAD = ∠CDA = 48°
Сумма углов в четырёхугольнике составляет 360° ⇒ ∠ABC + ∠BCD = 360° - 48° - 48° ⇒ ∠ABC + ∠BCD = 264° ⇒ 2•∠ABC = 264° ⇒ ∠ABC = ∠BCD = 132°
ответ: 48° , 48° , 132° , 132°
[5]Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба АВСD образует со стороной АВ угол в 30°, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали ВD ромба, если точка М лежит на стороне АD.В прямоугольном ΔАВМ: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы ⇒ АВ = 2•АМ = 2•4 = 8 см
Сумма углов в треугольнике составляет 180°: ∠ВАМ = 180° - 90° - 30° = 60°
В ромбе все стороны равны: АВ = ВС = CD = AD = 8 см
ΔBAD - равнобедренный, так как AB = AD = 8 см. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ABD = ∠ADB = (180° - ∠BAD)/2 = (180° - 60°)/2 = 60° ⇒ ∠BAD = ∠ABD = ∠ADB = 60°
Значит, ΔABD - равносторонний, AB = AD = BD = 8 см
ответ: 8 см
