Диагональ куба равна 10 см. Найдите ребро куба, косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из граней.

1) в равностороннем треугольнике все высоты равны.

Верно.Это свойство высот равностороннего треугольника

2)точка пересечения медиан произвольного треугольника - это центр окружности, описанной около этого треугольника.

Неверно. Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных  перпендикуляров к сторонам треугольника

4)медиана, это отрезок соеденяющий середины двух сторон треугольника.

Неверно. Медиана  - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

5) треугольник со сторонами 6,8,9- не существует.

Неверно. Существует.

Треугольник существует только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей.

Проверим:

6+8>9, 14>9  

8+9>6, 17>6

6+9>8, 15>8  

6) треугольник со сторонами 3,4,5 -прямоугольный.

Верно. Он египетский.

Египетский треугольник - прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5

ответ 1 и 6

Точки А, В. С лежат на одной прямой. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой (А, В и А1), проходит плоскость. притом только одна. ( Аксиома).
Через две параллельные прямые ( АА1 и ВВ1) можно провести плоскость, притом только одну.
Прямые АА1 и ВВ1 лежат в одной плоскости, СС1 параллельна АА1 и ВВ1⇒ лежит в той же плоскости, и эта плоскость пересекает данную плоскость по прямой А1В1.
 Проведем АК║А1В1. 
В параллелограмме АКВ1А1 отрезок МС1=АА1=а. 
Тогда в ∆ АВК сторона ВК=b-a 
Рассмотрим ∆ АВК и ∆ АСМ. Угол САК - общий, СМ║ВК ⇒ соответственные углы при параллельных  СМ и ВК равны ⇒
∆ АВК~∆ АСМ с коэффициентом подобия
 k=АС:АВ=АС:(АС+СВ)=2/5=0,4 
СМ=0,4•ВК=0,4•(b-a)
 CC1=C1М+СМ=а+0,4b-0,4a=0,6a+0,4b