1. Если треугольники подобны, то отношения сторон у них равны.
Пусть х - коэффициент пропорциональности.
Тогда стороны треугольника 2x, 5x, 4x.
Меньшая сторона 2х = 22, тогда
х = 11 см
Большая сторона равна 5х:
11 · 5 = 55 см
2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Если сходственные стороны относятся как 3 : 5, то
Sabc : Smnp = 9 : 25
Учитывая, что Smnp = Sabc + 16, получаем уравнение:
Sabc : (Sabc + 16) = 9 : 25
25·Sabc = 9·Sabc + 144
16·Sabc = 144
Sabc = 9 см²
3. Пусть х - сторона квадрата.
Из треугольника, образованного двумя сторонами квадрата и диагональю по теореме Пифагора:
x² + x² = 16²
2x² = 256
x² = 128
x = 8√2 см
Р = 8√2 · 4 = 32√2 см
4. Из прямоугольного треугольника ACD по теореме Пифагора найдем АС:
АС = √(AD² - CD²) = √(225 - 64) = √161
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на проведенную к ней высоту:
Sabcd = CD · AC = 8 · √161 = 8√161 см²
5. ΔАВН: ∠Н = 90°, ∠А = 60°, ⇒ ∠В = 30°. Напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, АН = АВ/2 = 4 см.
По теореме Пифагора ВН = √(АВ² - АН²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 см
АН : HD = 2 : 3, ⇒ HD = 6 см.
HBCD - прямоугольник, ⇒ ВС = HD = 6 см.
Sabcd = (AD + BC)/2 · BH = (10 + 6)/2 · 4√3 = 32√3 см
6. ΔACD прямоугольный, DE его высота. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:
DE² = AE · EC = 8 · 4 = 32
DE = √32 = 4√2 см
ΔAED: по теореме Пифагора
AD = √(AE² + ED²) = √(64 + 32) = √96 = 4√6 см
ВС = AD = 4√6 см
ΔCDE: по теореме Пифагора
CD = √(EC² + ED²) = √(16 + 32) = √48 = 4√3 см
АВ = CD = 4√3 см
а) АВ : ВС = 4√3 / (4√6) = 1/√2 = √2/2
б) Pabcd = (AB + BC)·2 = (4√3+ 4√6)·2 = 8·(√3 + √6) см
в) Sabcd = AB·BC = 4√3 · 4√6 = 16√18 = 48√2 см
7. Так как треугольники подобны,
BC : BD = BD : AD
BD² = BC · AD = 8 · 12,5 = 100
BD = 10 см
8. Треугольник АВС равнобедренный, медиана ВН является и высотой.
Из ΔАВН по теореме Пифагора:
ВН = √(АВ² - АН²) = √(625 - 49) = √576 = 24 см
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины:
ВО : ОН = 2 : 1, ⇒ ОН = ВН/3 = 8 см
Из треугольника АОН по теореме Пифагора:
АО = √(ОН² + АО²) = √(64 + 49) = √113 см
АО = 2/3 АМ
АМ = √113 · 3/2 = 3√113/2 см
В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам равны, значит
СК = АМ = 3√113/2 см
даны координаты вершин треугольника авс: а(0; -10),в(-12; -1),с(4; 12).найти:
1. длину стороны ав:
ав (с) = √((хв-ха)²+(ув-уа)²) = √225 = 15.
2. уравнение сторон ав и ас:
ав : х-ха = у-уа х = у + 10
хв-ха ув-уа -12 9
9х = -12у -120 сократим на 3 и перенесём налево:
3х + 4у + 40 = 0.
у(ав) = -0,75х - 10.
ас : х-ха = у-уа
хс-ха ус-уа
11х - 2у - 20 = 0
у = 5,5х - 10
3. величину угла а:
cos a= ав²+ас²-вс² = 0,4472136.
2*ав*ас
a = 1,107149 радиан.
a = 63,434949 градусов.
4. уравнение высоты cd и ее длину.
к(сд) = -1/к(ав) = -1/(-0,75) = 4/3.
у = (4/3)х + в. для определения "в" подставим координаты точки с:
12 = (4/3)*4 + в, в = 12 - (16/3) = 20/3.
уравнение сд: у = (4/3)х + (20/3).
длину сд можно определить двумя способами: сд = 2s/ab и по координатам точек с и д.
приравниваем уравнения ав и сд: -0,75х - 10 = (4/3)х + (20/3),
(-25/12)х = (20/3) + 10 = 50/3,
х = (50/3)/(-25/12) = (-600/75) = -8,
у = (-3/4)*(-8) - 10 = 6 - 10 = -4. точка d: (-8; -4).
длина сд = √((-8-4)² + (-4-12)²) = √(144 + 256) = √400 = 20.
5. уравнение медианы ве.
точка е как середина ас: (2; 1).
ве: х-хв = у-ув х + 12 = у + 1
хе-хв уе-ув 14 2
знаменатели сократим на 2: х + 12 = 7у + 7.
общее уравнение ве: х - 7у + 5 = 0,
с угловым коэффициентом: у = (1/7)х + (5/7).
6. координаты точки к пересечения медианы ве и высоты cd.
(1/7)х + (5/7) = (4/3)х + (20/3),
(-25/21)х = (125/21)
х = -125/25 = -5, у = (1/7)*(-5) + (5/7) = 0. точка к: (-5; 0).
7. уравнение прямой кр, проходящей через точку к параллельно стороне ав.
угловой коэффициент равен -0,75.
уравнение кр: у = (-0,75)х + в. подставим координаты точки к(-5; 0):
0 = (-0,75)*(-5) + в, в = - (15/4) = -3,75.
у = (-0,75)х - 3,75.
8. координаты точки м, расположенной симметрично точке а относительно прямой cd.
так как cd - перпендикуляр к прямой ав, то точка d(-8; -4) - это та точка, относительно которой требуется найти точку, симметричной точке а.
xm = 2xd - xa = 2*(-8) - 0 = -16,
ym =2yd - ya = 2*(-4) - (-10) = -8 + 10 = 2.
точка м(-16, 2).
объяснение:
