Зачёт No1
«Метод координат в Вариант 8
Вершины треугольника KMN имеют координаты К8;7;-3),
M(10;15;-3),N(2;13;-3). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого
треугольника (равносторонний, равнобедренный или
разносторонний);
в) вычислите косинус угла Ми определите вид этого угла
(острый, прямой или тупой)​

Добрый день!

Давайте посмотрим на каждый пункт вопроса по порядку:

а) Координаты середины стороны КМ можно найти, используя формулу для нахождения середины отрезка:

x_sered = (x_k + x_m) / 2
y_sered = (y_k + y_m) / 2
z_sered = (z_k + z_m) / 2

Подставляя данные из условия, получаем:

x_sered = (8 + 10) / 2 = 9
y_sered = (7 + 15) / 2 = 11
z_sered = (-3 - 3) / 2 = -3

Итак, координаты середины стороны КМ равны (9; 11; -3).

б) Для нахождения длин сторон треугольника мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

где d - расстояние между точками (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2).

Для стороны КМ:
d_km = √((10 - 8)^2 + (15 - 7)^2 + (-3 - (-3))^2)
= √(2^2 + 8^2 + 0^2)
= √(4 + 64 + 0)
= √68

Для стороны KM получаем, что d_km = √68.

Аналогично можно найти длины сторон МN и NK, подставляя соответствующие координаты в формулу. Получаем:

d_mn = √((2 - 10)^2 + (13 - 15)^2 + (-3 - (-3))^2)
= √((-8)^2 + (-2)^2 + 0^2)
= √(64 + 4 + 0)
= √68

d_nk = √((2 - 8)^2 + (13 - 7)^2 + (-3 - (-3))^2)
= √((-6)^2 + 6^2 + 0^2)
= √(36 + 36 + 0)
= √72

Теперь, для определения вида треугольника, нужно сравнить длины всех его сторон. Если все стороны равны, то треугольник будет равносторонним. Если хотя бы две стороны равны между собой, то треугольник будет равнобедренным. В противном случае, треугольник будет разносторонним.

В нашем случае, d_km = √68, d_mn = √68 и d_nk = √72. Видим, что сторона NK имеет другую длину. Следовательно, треугольник KMN - разносторонний.

в) Чтобы найти косинус угла М, мы можем использовать формулу для косинуса угла между векторами:

cos(α) = (a * b) / (|a| * |b|)

где α - угол между векторами a и b, a * b - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов.

По условию, у нас есть вершины M(10;15;-3) и K(8;7;-3). Пусть вектор KM будет вектором a, а вектор MN будет вектором b.

a = (10 - 8, 15 - 7, -3 - (-3)) = (2, 8, 0)
b = (2 - 10, 13 - 15, -3 - (-3)) = (-8, -2, 0)

Теперь можно посчитать скалярное произведение и длины векторов:

a * b = 2 * -8 + 8 * -2 + 0 * 0 = -16 - 16 + 0 = -32
|a| = √(2^2 + 8^2 + 0^2) = √(4 + 64 + 0) = √68
|b| = √((-8)^2 + (-2)^2 + 0^2) = √(64 + 4 + 0) = √68

Теперь можем найти косинус угла М:

cos(М) = (-32) / (√68 * √68) = -32 / 68 = -8 / 17

А чтобы определить вид угла, нужно посмотреть на его значение. Если косинус угла отрицательный, то угол будет тупым. Если косинус равен 0, то угол будет прямым. Если косинус положительный, то угол будет острый.

В нашем случае, cos(М) = -8 / 17 < 0, поэтому угол М будет тупым.

Таким образом, ответы на вопросы:

а) Координаты середины стороны КМ: (9; 11; -3)
б) Длины сторон треугольника: KM = √68, MN = √68, NK = √72. Треугольник KMN - разносторонний.
в) Косинус угла М: -8 / 17. Угол М - тупой.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам! Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.