ответ: 90°
можете объяснить почему?
​

См. ПЕРВЫЙ чертеж.  На нем все обозначения. 
q^2 = R^2 - (m/2)^2;
p^2 = r^2 - (m/2)^2;
Отсюда
(2*m)^2 + (q - p)^2 = (R + r)^2; (это просто теорема Пифагора)
4*m^2 + q^2 + p^2 - 2*q*p = R^2 + r^2 + 2*R*r;
4*m^2 + R^2 + r^2 - m^2/2 - R^2 - r^2 - 2*R*r = 2*q*p; (свожу подобные и делю на 2);
(7/4)*m^2 - R*r = q*p; (это возводится в квадрат);
(49/16)*m^4 - 2*(7/4)*m^2*R*r + R^2*r^2 = (R^2 -m^2/4)*(r^2 - m^2/4) = 
= R^2*r^2 - (1/4)*m^2*(R^2 + r^2) + m^2/16; (ясно, что свободные от неизвестного m слагаемые выпадают, и степень понижается :));
3*m^2 = (7/2)*R*r - (R^2 + r^2)/4;
Собственно, это ответ. Его можно "переписывать" в каких-то иных формах, например, так
m = (√3/6)*√(16*R*r - (R + r)^2); 
сути это не меняет.
Почему эта задача вызвала такие моральные затруднения, я не понимаю.
Арифметику проверяйте! :)

Мне захотелось показать несколько простых ЧУДЕС, которые зарыты в этом условии. См. ВТОРОЙ рисунок, он немного отличается от первого. Семь отличий искать не надо :). Проведена общая внутренняя касательная до пересечения с прямой. Она делит средний (из трех равных) отрезок на части x и m - x; отрезок касательной t;
Ясно, что x*(x + m) = t^2 = (m - x)*(m - x + m);
откуда легко найти x = m/2; 
то есть общая внутренняя касательная делит средний отрезок пополам.
Это уже НЕЧТО, но есть и дальше :) 
r^2 + t^2 = p^2 + (x + m/2)^2 = r^2 - m^2/4 + m^2; 
t^2 = (3/4)^m^2;
t = m*√3/2; 
к сожалению, это не сильно в поиске m :);

аж оф оф мы по нему не было письменно на меня не смогу пользоваться брайли приложением этим и занимаюсь я не хочу стать умнее и потом я буду на работе и не кушаю фрукты вот почему я не кушаю фрукты вот почему я не кушаю фрукты вот почему я не кушаю фрукты вот почему я не кушаю фрукты вот почему я не кушаю фрукты вот почему я не кушаю фрукты вот почему я не кушаю фрукты вот почему я не кушаю фрукты вот почему я не кушаю фрукты вот почему потому как правильно кушать апельсины нам нужно взять телефон на заказ номер заказ с aliexpress когда она через AliExpress закажем урезал куда мы можем выступать на для начала надо посмотреть как правильно чистить гранат перед тем как мы посмотрим как правильно чистить гранат перед тем как мы посмотрим как правильно чистить гранат перед тем как мы посмотрим как правильно чистить гранат перед тем как мы посмотрим как правильно чистить гранат перед тем как мы посмотрим как правильно чистить гранат перед тем как мы посмотрим как правильно чистить на меня не смогу пользоваться брайли приложением этим и из-за этого чтобы им пользоваться я не кушаю на меня не смогу пользоваться брайли приложением этим не кушаю фрукты вот почему я не кушаю фрукты