Обозначим треугольник АВС (угол С=90°), а точки касания окружности со сторонами: на ВС- К, на АС – Н и на АВ – М. (см. рисунок приложения)
Гипотенуза равна сумме отрезков, на которые делит ее точка касания АВ=АМ+ВМ=10+3=13 см.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому четырехугольник СКОН - квадрат. КС=ОН=СН=КО=r
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, до точек касания равны. ⇒
АН=АМ=3 и ВК=ВМ=10, а катеты ВС=10+r и AC=3+r
По т.Пифагора АВ²=ВС²+АС²
13²=(10+r)²+(3+r)²
169=100+20r+r²+9+6r+r²
169-109=2r²+26r => 2r²+26r- 60=0 ⇒ r²+13r- 30=0
Дискриминант D=b²-4ac=169-4·1·-30=289 ⇒
r=2 (второй корень отрицательный и не подходит)
10+2=12 см - больший катет
3+2=5 см меньший катет.
Обозначим вершины ромба: А.В.С.Д. Пусть диагональ АС = 80см,
диагональ ВД = 60см. Тоска пересечения диагоналей О.Тоска вне плоскости ромба - M, МО = 45см. Половинки диагоналей ОС =40см, ОД = 30см.
Найдём сторону ромба. Поскольку диагонали ромба пересекаются подпрямым углом, то в Δ ДОС ∠ДОС = 90⁰. Гипотенузой является сторона ромба СД.
По теореме Пифагора: ДС² = ОД² + ОС² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500.
ДС = 50(см).
Из точки О опустим перпендикуляр ОК на сторону СД. ОК является проекцией отрезка МК(расстояния от точки М до стороны ромба - это её надо найти).
Найдём ОК.
sin ∠ОСД = ОД: ДС = 30:50 = 0,6.
ОК = ОС·sin ∠ОСД = 40·0,6 = 24(см)
Из прямоугольного ΔМВК с прямым углом МВК найдём МК
По теореме Пифагора: МК² = МО² + ОК² = 45² + 24² = 2025 + 576 = 2601.
МК = 51(см)
