2 вариант
1. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и Р так, что АМ=МВ, ВР=СР, АС=14 см. Чему равен отрезок МР.
2. Точки М, К и F - середины сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС. Периметр треугольника MKF=16 см. Чему равен периметр треугольника ABC?
3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена высота СН. Чему равен отрезок ВН, если АС=6 см, АН=4 см?
4. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Найдите стороны треугольника.

1. Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства серединных перпендикуляров и равенства сторон треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что АМ=МВ и ВР=СР. То есть, точка М находится на серединном перпендикуляре к стороне АВ, а точка Р находится на серединном перпендикуляре к стороне ВС.

Также в условии дано, что АС=14 см.

Давайте рассмотрим треугольник АВС и соединим точки М и Р с вершиной С.

Поскольку М находится на серединном перпендикуляре к стороне АВ, а Р находится на серединном перпендикуляре к стороне ВС, то отрезки МС и РС являются высотами треугольника АВС и равны между собой.

Теперь у нас есть два равных треугольника: треугольник АСМ и треугольник РСМ.

Поскольку сторона АС равна 14 см, а АМ=МВ, то мы можем предположить, что сторона АС разбивается точкой М на две равные части, каждая из которых равна 7 см.

Таким образом, отрезок МР равен 7 см.

Ответ: Отрезок МР равен 7 см.

2. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны параллелограмма равны между собой.

Из условия задачи мы знаем, что М, К и F - середины сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС. То есть, отрезки МК, КФ и FM являются сторонами треугольника MKF.

Также в условии дано, что периметр треугольника MKF равен 16 см.

Поскольку МК - серединный перпендикуляр к стороне АВ, то отрезок МК равен половине стороны АВ. Аналогично, отрезки КФ и FM равны половине сторон ВС и АС соответственно.

Теперь у нас есть соотношение между сторонами треугольников МКФ и АВС:

МК : АВ = КФ : ВС = FM : АС = 1 : 2.

Из этого соотношения мы можем выразить стороны АВ и ВС через стороны МК, КФ и FM.

Поскольку периметр треугольника MKF равен 16 см, мы можем записать уравнение:

МК + КФ + FM = 16.

Заменим стороны треугольника АВС через стороны МК, КФ и FM:

АВ = 2*МК,
ВС = 2*КФ,
АС = 2*FM.

Тогда периметр треугольника МКФ можно записать в виде:

2*МК + 2*КФ + 2*FM = 16.

Так как коэффициент перед каждым членом равен 2, мы можем сократить уравнение:

МК + КФ + FM = 8.

Теперь у нас есть система уравнений:

МК + КФ + FM = 8 (1),
МК + КФ + FM = 16 (2).

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

(МК + КФ + FM) - (МК + КФ + FM) = 16 - 8,
0 = 8.

Также из уравнения (1) мы можем выразить стороны треугольника MKF через периметр:

МК + КФ + FM = 8,
2*МК + 2*КФ + 2*FM = 16,
(МК + КФ + FM) + (МК + КФ + FM) = 16,
2*(МК + КФ + FM) = 16,
МК + КФ + FM = 8.

Таким образом, мы получаем, что периметр треугольника МКФ равен 8 см.

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 8 см.

3. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства подобных треугольников и теорему Пифагора.

Из условия задачи мы знаем, что АС=6 см, АН=4 см и прямоугольный треугольник АВС.

Так как АН является высотой треугольника АВС, то АН и НС - ортогональные векторы.

Мы можем предположить, что сторона АВ больше стороны АС и рассмотреть прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ.

Поскольку АН является высотой треугольника АВС, то отрезок АН делит гипотенузу на две части, которые мы обозначим как х и 6-х, где х - длина отрезка АН.

Используя теорему Пифагора для треугольника АВС, мы можем записать уравнение:

х^2 + (6-х)^2 = АВ^2.

Раскроем скобки и упростим:

х^2 + 36 - 12х + х^2 = АВ^2,
2х^2 - 12х + 36 = АВ^2.

Теперь мы можем использовать информацию из условия задачи, что АН=4 см:

х = 4.

Подставим это значение в уравнение:

2*4^2 - 12*4 + 36 = АВ^2,
32 - 48 + 36 = АВ^2,
20 = АВ^2.

Решим уравнение:

АВ = √20,
АВ = 2√5.

Таким образом, сторона АВ равна 2√5 см.

Ответ: Сторона АВ равна 2√5 см.

4. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см.

Предположим, что краткая сторона треугольника равна х см. Тогда гипотенуза будет равна х+5 см, а длинная сторона равна х+5+5=х+10 см.

Используя теорему Пифагора для треугольника АВС, мы можем записать уравнение:

х^2 + (х+10)^2 = (х+5)^2.

Раскроем скобки и упростим:

х^2 + (х^2 + 20х + 100) = х^2 + 10х + 25.

Сократим х^2 и х:

х^2 + 20х + 100 = 10х + 25.

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

х^2 + 20х - 10х + 100 - 25 = 0,
х^2 + 10х + 75 = 0.

Теперь мы можем использовать квадратное уравнение для решения:

D = (b^2) - 4ac,
D = (10^2) - 4(1)(75),
D = 100 - 300,
D = -200.

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет решений.

Таким образом, не существует треугольника, удовлетворяющего условию задачи.

Ответ: Такой треугольник не существует.