Геометрия, 8 класс, декартовы координаты

Основание пирамиды - прямоугольник, стороны которого равны 24 дм и 15 дм. Высота пирамиды проходит через середину большей стороны основания и равна 16 дм. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Вначале исследуем вид каждого треугольника в боковых гранях

• Рассмотрим тр. SBC:
SE - высота и медиана - по условию => тр. SBC - равнобедренный ( ВS = SC )
• SB - наклонная, SE - перпендикуляр к плоскости АВС , ВЕ - проекция наклонной SB на плоскость АВС. SE перпендикулярен ВС , ВЕ перпендикулярен АВ => по теореме о трёх перпендикулярах SB перпендикулярен АВ
Значит, тр. АВS - прямоугольный
Аналогично, тр. CDS - прямоугольный
• тр. АВS = тр. CDS по двум катетам => AS = DS . Значит, тр. ADS - равнобедренный
• В тр. ADS из вершины S на AD опустим высоту SH => AH = HD
SH перпендикулярен AD , SE перпендикулярен ЕН => по теореме о трёх перпендикулярах EH перпендикулярен AD
• Рассмотрим тр. SEH (угол SEH = 90°):
По теореме Пифагора:
SH^2 = EH^2 + SE^2
SH^2 = 15^2 + 16^2 = 225 + 256 = 481
SH = V481 дм
• Рассмотрим тр. ВES (угол BES = 90°):
По теореме Пифагора:
ВS^2 = SE^2 + BE^2
BS^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400
BS = 20 дм

S бок. = S bcs + S ads + 2 • S abs = ( 1/2 ) • 24 • 16 + ( 1/2 ) • 24 • V481 + 2 • ( 1/2 ) • 15 • 20 = 192 + 12V481 + 300 = 12V481 + 492 дм^2

ОТВЕТ: 12V481 + 492 дм^2

Для составления уравнения плоскости  ACD используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

xD - xA yD - yA zD - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-4) y - (-5) z - (-3)

5 - (-4) 7 - (-5) (-6) - (-3)

6 - (-4) (-1) - (-5) 5 - (-3)

 = 0

x - (-4) y - (-5) z - (-3)

9 12 -3

10 4 8

 = 0

x - (-4)  12·8-(-3)·4  -  y - (-5)  9·8-(-3)·10  +  z - (-3)  9·4-12·10  = 0

108 x - (-4)  + (-102) y - (-5)  + (-84) z - (-3)  = 0

108x - 102y - 84z - 330 = 0

18x - 17y - 14z - 55 = 0.

Для вычисления расстояния от точки B(Bx; By; Bz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0  используем формулу:

d =   |A·Bx + B·By + C·Bz + D| (√A² +B² + C²).

d =   |18·3 + (-17)·1 + (-14)·2 + (-55)| √182 + (-17)2 + (-14)2  =   |54 - 17 - 28 - 55| /√(324 + 289 + 196)  =   =   46/ √809  =   46√809/ 809  ≈ 1.617274.