сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. у нас известны два угла из трех ( b = 60, c = 90 ). поэтому мы можем найти третий угол:
180 - 60 - 90 = 30 ( это угол a )
в есть следующая теорема:
"в прямоугольном треугольнике катет, лежайщий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы."
в данном треугольнике гипотенузой является ab (так как эта сторона лежит против угла в 90 градусов), катетами являются ac и cb.
из теоремы выше понятно, что ab = 2cb
известно, что ab + bc = 111
теперь выразим ab: ab = 111 - bc
теперь все это запишем в уравнение:
мы знаем, что ab можно выразить двумя способами: ab = 111 - bc и ab = 2cb
поэтому можно их прировнять
ab = ab
или
111 - bc = 2cb
111 = 3cb
cb = 111 / 3
так как ab = 2cb, ab = 2 * 111 / 3 = 74
Как ни удивительно, но в данном случае формула Герона для площади - это самый простой вычисления синуса большего угла. К сожалению, этот треугольник нельзя разрезать на Пифагоровы.
Первое, что надо понять - все размеры можно смело сократить на 5. В этом случае получается треугольник со сторонами 8, 15, 21, подобный исходному, то есть у него - такие же точно углы. Нужно найти угол противолежащий стороне 21(против большей стороны лежит больший угол). Обозначим его Ф.
Надем площадь.
Полупериметр (8 + 15+ 21)/2 = 22; 22 - 8 = 14; 22 - 15 = 7; 22 - 21 = 1;
S^2 = 22*14*7*1 = 11*14^2; S = 14*корень(11);
Поскольку S = 8*15*sin(Ф)/2, то sin(Ф) = (7/30)*корень(11);
С другой стороны, для cos(Ф) можно записать теорему косинусов
21^2 = 8^2 + 15^2 - 2*8*15*cos(Ф);
Откуда cos(Ф) = (21^2 - 8^2 - 15^2)/240 = 19/30;
Поскольку оба результата на первый взгляд получены разными можно проверить, что
(sin(Ф))^2 + (cos(Ф))^2 = 1; сделайте это сами :)
