Дан прямоугольный параллелипипед ABCDA₁B₁C₁D₁ такой, что
На прямых, содержащих рёбра AB, BC, CD, DA отмечены соответственно точки F, G, H, K.
При этом , , и .
Вокруг тетраэдров A₁AFK, B₁BGF, C₁CHG описанны сферы с центрами P, Q, S соответственно.
Найдите максимальную площадь ΔPQS, если PQ=3.

М - середина АС (по условию) и угол ВМА = 90градусов,  значит ВМ - медиана и высота треугольника АВС.
Следовательно треугольник АВС - равнобедренный с основанием АС (по признаку равнобедренного треугольника).
Угол А равен углу С ( так как углы при основании равнобедренного треугольника). Угол С - это ВСА ( можно и так, и так), и он равен 70градусов.
Так как ВМ - медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, то она является биссектрисой. Значит угол МВС равен половине угла АВС и равен 20градусов

1 Тр. AOB=BOC. BO=OB, AO=OC, угол AOB=BOC как вертикальные, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
2.PK=NK, угол P=углу N, углы MKN=PKB(как вертикальные), значит тр. MKN=PKB по стороне и двум прилежащим углам.
3.АВ=АD, угол ВАС=DAC, AC - общая, значит тр. BAC=DAC по двум сторонам и углу между ними
4. BC=AD, угол CBD=ADB, BD - общая, значит тр. CBD=ADB по двум сторонам и углу между ними
5.угол MDF=BDF, DFM=DFB, DF - общая, значит тр. MDF=BDF по стороне и двум 
прилежащим углам.
6.угол MAP=NPA, AP - общая, значит тр. MAP=NPA по стороне и двум прилежащим углам...