В первой задаче высота равна 1.
Нужно рассмотреть прямоугольную трапецию, получаемую в сечении плоскостью, перпендикулярной обоим основаниям, проходящем через радиусы описанных вокруг оснований окружностей и боковое ребро пирамиды. Радиус окружности, описанной возле меньшего основания, равен 2/√3 (как радиус окружности, описанной возле равностороннего треугольника). Радиус окружности, описанной возле большего основания, равен 5/√3 (также равносторонний треугольник).
Итак, мы имеем дело с прямоугольной трапецией, меньшее основание равно 2/√3, большее основание 5/√3, боковая сторона, равная 2 (по условию - длина бокового ребра), является гипотенузой прямоугольного треугольника. Один катет равен 5/√3 - 2/√3 = 3/√3, тогда другой (равный искомой высоте) будет равен 4 - 3 = 1.
А во второй делаем следующее: проводим апофему и перпендикуляр к ней из центра основания - точки пересечения диагоналей квадрата, лежащего в основании. Будем иметь прямоугольный треугольник с катетом, равным 3 (по условию), и углом в 60 градусов, противолежащим этому катету. Гипотенуза, равная половине длины стороны квадрата, равна 3/sin60 = 2√3, значит, сторона квадрата, лежащего в основании, равна 2*2√3 = 4√3, а площадь основания (квадрата) равна 4√3*4√3 = 48.
Теперь найдем высоту этой пирамиды. Она есть катет прямоугольного треугольника, в котором апофема является гипотенузой, угол, противолежащий этому катету, равен 60 градусов, а второй катет мы нашли ранее - 2√3. Следовательно, второй катет - искомая высота - равен 2√3*tg60 = 6. Таким образом, нам стало известно, что площадь основания пирамиды равна 48, высота 6. Находим объем по формуле объема для правильной пирамиды:
