Даны координаты вершин пирамиды A1 (5, 5, 4), A2 (3, 8,4), A3 (3, 5, 10), A4 (5, 8, 2). Требуется найти: 1) уравнение прямой A1 A2, 2) угол между рёбрами A1 A2 и A1 A3, 3) уравнение плоскости A1 A2 A3, 4) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3

ABC - равносторонний треугольник.  - его проекция на плоскость P. .
Отложим на перпендикулярах отрезки  дм. Тогда BM = 15-10 = 5 дм, CM = 17-10 = 10 дм.
Точка О - центр ABC, т.е. точка пересечения его медиан. Медиана правильного треугольника ABC делится точкой O в соотношении AO:OD = 2:1, откуда AO:AD = 2:3
Опустим из точки D перпендикуляр на плоскость в точку . Этот перпендикуляр разделит отрезок NM пополам. Значит  медиана треугольника .
Отрезок  - средняя линия трапеции BCNM. Его длина  дм.
Треугольники  подобны по первому признаку:  - общий, .
Тогда 

дм.
Учитывая вышеизложенное, получаем 
дм.

ответ: 14 дм.

. Так как АВ||СD, то угол ABD равен углу BDC, Треугольники ABD и BDC равнобедренные, так как их боковые стороны AB, BD и BC - радиусы окружности и равны 5. Диагональ АС может быть найдена из треугольник ABC (он тоже равнобедренный, АС - его основание), Надем АС из свойства синуса угла В при вершине данного треугольника. Угол B=β+γ, из тругольника BDC γ=180−2β. Тогда угол B=β+180−2β=180−β. Из равнобедренного треугольника ABC имеем AC=2∗AB∗sin(180−β2)=10∗sin(90−β/2)=10∗cos(β/2). cos(β/2) найдем из равнобедренного треугольника ABD: cos(β/2)=h/AB, где h - высота данного треугольника (обозначена синей линией на рисунке). h=52−32−−−−−−√=4, тогда cos(β/2)=4.5, следовательно, AC=10∗45=8. ответ 8.