Даны вершины треугольника А (2, -1, -3), В (1, 2, -4) и С (3, -1, -2).
Вычислить координаты вектора h, который коллинеарен высоте треугольника, опущенной из вершины А на противоположную сторону, формирует с осью Оу тупой угол и имеет длину, равную 2√34.

Для начала нам понадобится найти координаты вершины противоположной стороне треугольника.

Для этого можно воспользоваться формулой:
D(x,y,z) = (x1+x2-x3, y1+y2-y3, z1+z2-z3),

где (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) и (x3, y3, z3) - координаты вершин треугольника.

Применяя эту формулу, найдем координаты вершины D:

D = (2+1-3, -1+2-(-1), -3+(-4)-(-2))
D = (0, 4, -5)

Теперь мы можем найти вектор AD, опущенный из вершины А на противоположную сторону.
Для этого вычислим разность координат (x,y,z):
AD = (2-0, -1-4, -3-(-5))
AD = (2, -5, 2)

Далее, чтобы узнать, какой вектор коллинеарен высоте треугольника, опущенной из вершины А на противоположную сторону, нам нужно найти проекцию вектора AD на ось Oy.

Ось Oy имеет направляющий вектор v = (0, 1, 0).

Проекция вектора AD на направляющий вектор вычисляется с помощью формулы:
proj_v(AD) = (AD • v / |v|^2 ) * v,

где • - это скалярное произведение, |v| - длина вектора v.

Сначала найдем скалярное произведение AD • v:
AD • v = (2*0) + (-5*1) + (2*0)
AD • v = 0 - 5 + 0
AD • v = -5

Теперь найдем длину вектора v:
|v| = √(0^2 + 1^2 + 0^2)
|v| = √(0 + 1 + 0)
|v| = √1
|v| = 1

Используя найденные значения, вычислим проекцию вектора AD на ось Oy:
proj_v(AD) = (-5 / (1^2)) * (0, 1, 0)
proj_v(AD) = -5 * (0, 1, 0)
proj_v(AD) = (0, -5, 0)

Мы получили вектор, коллинеарный высоте треугольника, опущенной из вершины А на противоположную сторону, и коллинеарный оси Oy.

Теперь нам нужно найти вектор h, который имеет длину, равную 2√34.

Для этого воспользуемся формулой:
h = (h1, h2, h3),

где h1, h2, h3 - это координаты вектора h.

Так как вектор h коллинеарен проекции вектора AD на ось Oy, мы можем умножить проекцию на коэффициент пропорциональности, чтобы его длина стала равной 2√34.

Поскольку |proj_v(AD)| = √(0^2 + (-5)^2 + 0^2) = √(5^2) = 5,
то коэффициентом пропорциональности будет 2√34 / 5.

Таким образом, для нахождения вектора h, мы можем умножить проекцию вектора AD на коэффициент пропорциональности:
h = (2√34 / 5) * (0, -5, 0)
h = (0, (-10√34)/5, 0)
h = (0, -2√34, 0)

Итак, координаты вектора h, который коллинеарен высоте треугольника, опущенной из вершины А на противоположную сторону, формирует с осью Оу тупой угол и имеет длину, равную 2√34, равны (0, -2√34, 0).