В треугольнике ABC из произвольной точки D на стороне AB проведены две прямые , параллельные сторонам AC и BC, пересекающие BC и AC соответственно в точках F и G Доказать что сумма длин описанных окружностей треугольников ADG и BDF равна длине описанной окружности треугольника ABC

В правильном треугольнике АВС высота АН является и медианой. По свойству медианы АО=(2/3)*АН, а ОН=(1/3)*АН.
В прямоугольном треугольнике ASO угол SAO=30° (дано). Высота пирамиды SO =АО*tg30 или SO =(2/3)*АН*√3/3 = (2√3/9 )*АН.
Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания - это угол AHS по определению: "Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (АН и SH перпендикулярны ребру ВС двугранного угла ABCS )".
Тогда тангенс искомого угла tg(<OHS)=OS/OH или
tg(<AHS)= (2√3/9 )*АН/(1/3)*АН =2√3/3.
ответ: tg(<AHS) = 2√3/3 ≈1,155.

В конусе можно провести три взаимно перпендикулярных образующих SA, SB и SC.
SO - высота конуса.
Пусть SA=SB=SC=1.  Тогда АВ=ВС=АС=√2 как гипотенузы равнобедренных прямоугольных треугольников.
Треугольник АВС (вписанный в основание конуса) равносторонний со
стороной, равной √2  и в нем отрезок СО равен 2/3 от высоты этого треугольника, равной h=(√3/2)*a, где а - сторона треугольника:
CO =(2/3)*(√3/2)*√2=√6/3.
Осевое сечение конуса CDS, проходит через центр основания О.
Тогда косинус угла в осевом сечении, прилежащего к основанию конуса, равен:
Cos(<OCS)= CО/SC = (√6/3)/1 = √6/3.
ответ: Cos(<OCS)=√6/3 ≈ 0,816.