« На 4 »
Вариант 1
1. Сторона квадрата равна 32 см. Найдите его
диагональ.
2. Диагональ прямоугольника равна 34 см.
Найдите стороны прямоугольника, если их
длины относятся как 15:8.

Очень просто. Обозначим катеты как a и b. По теореме Пифагора a^2 + b^2 = 15^2 = 225. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: a*b*0.5 = 54. Составляем систему из этих двух уравнений. Решаем подстановкой, допустим, возьмем катет a: a = 54/(0.5*b) = 54*2/b = 108/b. Далее подставляем в первое уравнение. Только не пугайся, числа большие: (108/b)^2 + b^2 = 225; 11664/b^2 + b^2 = 225. Умножаем обе части на b (в этом отношении мы можем делать что угодно, ведь длина катета - величина положительная) : 11664 + b^4 = 225*b^2. Переносим все в левую часть: b^4 - 225*b^2 + 11664 = 0. Заменим b^2 на x, тогда b^4 = x^2: x^2 - 225x +11664 = 0. Решаем квадратное уравнение: дискриминант равен (-225)^2 - 4*1*11664 = 50625 - 46656 = 3969 = 63^2. Далее находим корни: x1 = (-(-225) - 63)/2*1 = (225-63)/2 = 162/2 = 81. Т. е. x1 = 81, а значит b1 = корень квадратный из 81 = 9 (помним: длина катета - величина положительная) . Т. е. один катет мы уже нашли - он равен 9 см. Второй корень уравнения лучше не искать, второй катет можно найти из подстановки a = 108/b = 108/9 = 12. Все. Мы нашли катеты, они равны 9 см и 12 см соответственно. Задача решена. Можно сделать проверку: площадь равна 0.5*a*b = 0.5*12*9 = 54 см^2.

АВСДЕФК - пирамида с вершиной К. КО=4см - высота. КМ - апофема.
М∈АВ. 
Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из шести равнобедренных тр-ков, равных ΔАВС, следовательно площадь одного тр-ка: S3=Sбок/6=192/6=32 см².
Апофема в тр-ке АВС представляет собой высоту, опущенную на основание. КМ=АВ.
S3=КМ·АВ/2=АВ²/2, 
АВ=√(2·S3)=8 см.
Площадь правильного шестиугольника, находящегося в основании, состоит из шести правильных тр-ков. Площадь одного рассчитывается по формуле S=a²√3/4
Sш=6·S=3a²√3/2=96√3 см²
V=Sш·КО/3=128√3 см³.